区间覆盖问题【贪心算法】

• Problem Description

设$x_1$ ，$x_2$ ，…… ，$x_n$是实直线上的n 个点。用固定长度的闭区间覆盖这n 个点，至少需要多少个这样的固定长度闭区间?
对于给定的实直线上的n个点和闭区间的长度k，设计解此问题的有效算法，计算覆盖点集的最少区间数，并证明算法的正确性。

Input
输入数据的第一行有2 个正整数n和k（n≤10000，k≤100），表示有n个点，且固定长度闭区间的长度为k。接下来的1 行中，有n个整数，表示n个点在实直线上的坐标（可能相同）。
Output
输出一个整数，表示计算出的最少区间数输出。

Sample Input

7 3
1 2 3 4 5 -2 6

Sample Output

3

• 样例分析

• 解题思路

（1）将n个点存放在一维数组中，并用sort函数将数组元素从小到大排列。
（2）要想使闭区间数最少，就要让一个闭区间覆盖尽可能多的点。
（3）① 先用一个区间的左边覆盖第一个点，这时使用区间数为1；② 从下一个点开始，依次判断后续的点是否被当前闭区间覆盖。如果被覆盖，继续判断下一个点；如果没有被覆盖，说明当前区间“尽了最大的努力，覆盖了尽可能多的点”，它不能再覆盖当前这个点。那么“拿来”一个新的区间，使这个新的区间的左边放在当前点上，并将使用的区间数加一。③ 重复上述②的操作，直到所有点被覆盖，得出最少区间数结束。

• 代码实现

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int n,k;   
    int a[10001];
    int left=0;
    int sum=0;
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>a[i];
    sort(a,a+n);   //将n个点从小到大排序。注：sort函数排数组，数组下标从零开始
    left=a[0];   //开始的时候，将第一个闭区间的左边放在第一个点上
    sum=1;   //由于已经放了一个区间，因此区间数为1
    for(int i=1;i<n;i++)   //从第二个点开始
    {
        if(a[i]-left>k)   //判断其是否在第一个区间内：如果在，就继续下一个点；如果不在，就需要放一个新的闭区间，并且区间数要加 1。注：这里不用大于等于，可以验证，等于有时会造成浪费闭区间
        {
           sum++;
           left=a[i];
        }
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}

• 运行结果