数学模型-传染病模型

SIS模型

这个模型比较适合于普通感冒情况
它的动力学方程也比较简单，是典型的微分方程模型：

该模型的状态共分4种：
1.SUSCEPTIBLES: 易感者, 潜在的可感染人群
2.EXPOSED：潜伏者, 已经被感染但是没有表现出来的人群
3.INFECTIVES: 感染者, 表现出感染症状的人
4.RESISTANCES: 抵抗者, 感染者痊愈后获得抗性的人
但是真正发挥作用的是SUSCEPTIBLES，INFECTIVES；另外两个因为没有发病所以无法得到有效观察
我们将SUSCEPTIBLES简写成S，INFECTIVES简写为I；那么上面的模型表示感染者以一个概率β传染给易感者，然后感染者以一定概率γ恢复成易感者，依次往复

那我们不妨设该地区总人数为N，s(t)为t时刻易感人群的总数，i(t)为t时刻感染人群的总数
其中一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设 t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数s(t)成正比，比例系数为β（β也为概率），从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βs(t)i(t)，即i(t)代表t时刻病人总数，βs(t)指的是一个病人通过一定概率β让易感人群s(t)得病，t时刻，i(t）个病人可以让βs(t)i(t)个易感人群得病
注意ds(t)/dt + di(t)/dt = 1，ds(t)/dt，di(t)/dt表示增长率

两个等式右边的式子可以据不同情况进行改变

SIR模型

这是个急性传染病模型，指的是发病快，治愈也快

其中Recovered那一项应该还要连到SUSCEPTIBLES，概率为ν

其中两项和上一个模型一样，新增Recovered这一项
这里的β = kb，为感染者每天平均接触到的人数 k 及接触时传染概率 b 的乘积，这里βI为所有感染者所接触的人且使其患病的人数，考虑到感染者接触到不全是易感人群，所以βI*S/N（S/N代表易感人群比例）代表感染者能接触的易感人群，并使易感人群患病的人数

SEIR

这是带潜伏期的恶性传染病

其中Recovered那一项应该还要连到SUSCEPTIBLES，概率为ν

该模型的状态共分4种：
1.SUSCEPTIBLES: 易感者, 潜在的可感染人群
2.EXPOSED：潜伏者, 已经被感染但是没有表现出来的人群
3.INFECTIVES: 感染者, 表现出感染症状的人
4.RESISTANCES: 抵抗者, 感染者痊愈后获得抗性的人
其中σ是潜伏者向感染者转移的概率
这里的β = kb，为感染者每天平均接触到的人数 k 及接触时传染概率 b 的乘积，这里βI为所有感染者所接触的人且使其患病的人数，考虑到感染者接触到不全是易感人群，所以βI*S/N（S/N代表易感人群比例）代表感染者能接触的易感人群，并使易感人群患病的人数

另外有个R包是基于马尔科夫模型做的预测：https://mp.weixin.qq.com/s/S3FWKOsvCGs4HfuPncz5dg

参考：https://www.zhihu.com/question/367466399