数学建模论文笔记

一、概述

1. 数学建模论文组成

• 论文电子版：摘要页、正文、参考文献、附录
• 支撑材料：源程序代码以及调用说明、中间结果、支撑数据等
• 首页：论文题目、摘要、关键词
• 论文正文：问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型建立与求解、模型检验/模型改进与推广、模型优缺点评价、参考文献、附录
• 论文格式：
  • 论文题目–黑体3号、居中；
  • 摘要标题–黑体四号、居中；
  • 摘要内容–宋体、小4号；
  • 关键词–黑体小4号；
  • 正文一级标题–黑体四号、居中；
  • 正文二三级标题–黑体小四号、居左；
  • 正文–宋体、小4号；
  • 数字、字母等–Times New Roman；
  • 页边距–上下左右各2.5cm；
  • 论文页数–正文尽量20页以内

二、题目写作规范

• 首页：论文题目、摘要、关键词

1. 论文题目

• 应尽量涵盖论文研究的主要对象和研究内容，所采用的主要研究方法
• 要求： 简短、精炼、一目了然
• 一般肚子占一行，居中排版
• 题目常见方式
  • 基于xx模型/方法/理论的xx问题研究

2. 关键词

• 一般3-5个
• 主要包括五部分内容：研究对象或研究内容、研究目的、主要模型、求解算法、验证方法

3.摘要内容

• 摘要是现代科技论文的一个导读部分，摘要应具有独立性和代表性。
• 主要包括
  • 背景和问题： 应简要叙述研究的对象和研究内容、研究目的
  • 问题分析：依据题目给出的数据或自行收集了哪些数据或信息
  • 关键假设：对所研究的问题、数据做了哪些机理分析或数据观察，据此做出了什么样的关键假设
  • 模型结构：采用了何种建模方法，建立了何种数学模型
  • 求解算法：对模型采用了什么样的方法、算法或软件求解
  • 结果、检验、结论：主要结果或结论是什么，或对假设、模型或结果做了何种验证或假设验证等

• 摘要写作形式

  • 摘要前言：主要起到总结概括的作用，在撰写时主要包括三部分：研究问题的背景或意义、主要的研究思路和方法、取得的成果或解决的主要问题等

  • 摘要正文：简述各问题的建模过程及结果分析，对于问题较多的情况，在描述时：针对问题一；针对问题二…对于每个问题主要包括四部分内容，分别是简述问题、建模思路、模型求解和结果分析

    • 简述问题表述形式：针对问题一，这是一道典型的动态规划赛题；针对问题二，可以将其定性为评价类问题
    • 建模思路：主要包括对问题的分析或数据的获取和处理、采用了什么数学方法或进行了哪些分析，建立了什么样的数学模型等
    • 模型求解：采用了基于xx数据，采用了什么方法/软件/平台等对模型进行求解
    • 结果分析
      • 计算性问题：指需要对某个参数进行准确计算，一般适用于物理数学类赛题，结果的正确性往往能直接影响到论文的质量，在作答时需给出题目中要求我们计算的所有量，注意字体加深并注明单位
      • 开放性问题：指的是题目让我们给出影响、后果、策略、评价等类型的赛题，这类问题在进行结果分析时，应尽量将关键性的结果或结论进行简述，有数值支撑最好，是在无法简述则阐明该问题得到了解决即可。若最后进行了灵敏度分析或误差分析等也可以在结果分析处简要描述

  • 摘要结尾：主要是对整个建模过程的总结和升华，如进行优缺点评价、模型的创新性评价、模型的推广等

三、论文正文

• 问题重述->问题分析->模型假设->符号说明->模型建立与求解

1. 问题重述

• 在撰写论文时，首先要简要说明问题的背景，既要说清楚事情的来龙去脉，列出必要数据，提出要解决的问题，并给出研究对象的关键信息的内容，他的目的在于使读者对要解决的问题有一个印象
• 在撰写中一般包括背景描述和问题阐述两部分内容

  • 赛题背景描述，针对以下情况

    • 背景描述过于繁琐，则以简化为主，简化后的问题重述应不超过一页
    • 背景描述过于简单，往往一句话带过，可适当进行扩充
    • 背景描述适中，则以语言改写为主

  • 研究问题描述，针对以下情况

    • 对于数值分析类：往往需要基于某些固有参数或在限定的条件下进行计算，此时需要将关键的参数或条件进行描述，对于其他背景内容可不写
    • 对于开放性问题：同样若问题描述较为简单可进行简要扩充，若较为繁琐可进行适当简化
• 针对数值计算求解类，可直接将赛题背景简述后将问题直接搬进，但注意更改为自己语言
• 针对开放类赛题，若赛题描述简单则往往需要扩充；若赛题描述较为繁琐则需要简化，但同样要变换为自己的语言，将关键问题进行提炼

2. 问题分析

• 问题分析是将具体问题抽象为数学模型的桥梁，反映了对问题的认识程度，体现了解决问题的雏形，也就是给出建模的思路，起承上启下作用

• 应包含内容：

  • 题目中包括的已知条件、参数或数据等
  • 对问题进行宏观分析，确定要解决问题的关键
  • 对该问题给出大致的求解思路（如可建立xx模型）
  • 给出该问题已得到求解的相关描述（非具体）

• 在撰写时应尽量将每一小问单独设置一段，不要与摘要中对每一的分析相同，需要采用很多步骤的求解思路可结合流程图描述

• 与摘要不同

  • 问题分析描述更简单
  • 问题分析中不包括结论或求解成果
  • 问题分析可结合各类已知条件或背景知识
  • 问题分析过程可采用流程图或思维导图等

• 放置方式
  • 直接放在问题重述后面
  • 放置在每一小问的模型建立与求解中

3. 模型假设

• 对情景的描述，不可能也不必要提供问题的每个细节。由此而来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设

• 注意

  • 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解
  • 所提出的假设确实是建立模型所必需的
  • 假设应验证其合理性。合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常理的假设；或由观察所给数据的图像，得到变量的函数形式；也可参考其他资料由类推得到

• 情况分析

  • 对题目中已知条件或参数做出保真性假设
  • 仅考虑题目中涉及的主要条件，对其他情况下不考虑或进行强制规定
  • 对题目中涉及的主要条件进行平稳性规定
  • 为使研究更简便、或从赏识性角度做出假设
  • 对模型中相关参数做出规定（灵敏度分析

4.符号说明

• 在建模过程中涉及到的主要变量提前在论文中进行描述，以方便评审老师阅读论文
• 一般符号说是以三线表的形式给出的，主要包括：符号、含义、单位
• 只需写主要的全局变量即可
• 尽量用希腊字母

5.模型建立与求解

• 注意
  • 模型要基本正确，简明，便于求解
  • 建立模型要有根据，能详细阐释建模的逻辑
  • 模型要实用有效，以能有效解决问题为原则
  • 模型要具有可解性，建立的模型需要考虑到下一步的求解
  • 模型尽量不要超过本科数学的知识

• 建模形式

  • 无需建立数学模型，以统计分析为主
    • 对于该类问题主要常见于基于相关数据或现象进行统计性分析，探究相关的规律，常见于第一问。如想高分应考虑
      • 兼顾到数据的检查或处理，如异常值检测、数据插值拟合等
      • 利用相关统计分析软件或算法，如spss、sas
      • 结合图表来说明
  • 结合相关的数学物理知识进行问题求解
    • 有些问题在求解时需要结合相关的数学物理定律，在建模时应首先将涉及到的相关定律进行描述，然后结合自己的思路进行模型构建
  • 结合已有模型或方法进行问题的求解
    • 最常见的方法，可分为评价类、预测类、优化类等
    • 评价类指题目给出了一定的数据或条件，建立了客观的指标体系，选择合适的模型进行评价
      • 明确评价目的建立指标体系：代表性、确定性、独立性、区别能力
      • 对指标体系进行规范化管理：指标一致化处理、无量纲化处理（归一法、标准差、极值差法、功效系数法）
      • 确定指标体系对应权重系数：主观定权法和客观定权法
      • 选择或构造综合评价模型：线性加权法和非线性加权法
    • 预测类指的是在现有资料的基础上，预测事物的一些位置属性或已知属性未来的发展趋势
      • 对原始数据进行预处理操作：残缺值补全、异常值剔除等
      • 根据条件选择/建立合适模型：中短期、长期预测，大小样本
      • 对模型预测结果进行误差分析：绝对误差分析、相对误差分析等
      • 给出最终预测结果、回答问题
    • 优化类指在一定条件限制下选择某种方法或方案使研究目标达到最优结果
      • 时间最短、成本最小、收益最高
  • 对已有模型或方法进行改进然后对问题进行求解
    • 难度较大，但会提高模型的创新度，从而提高论文质量，对模型改进的原则是使模型更加适用于解决赛道，可选择适当简化或扩充等
    • 改进出发点
      • 原有模型存在一定固有缺陷，影响效果
      • 原有模型对现有问题并不适用
      • 原有模型太简单，考虑的内容较少
    • 注意
      • 改进的理由
      • 改进的具体过程
      • 与未改进前做对比
    • 常在建模部分使用伪代码进行算法的说明
    • 基于层次分析-熵权法的综合评价模型 — 评价类，定权更准确
    • 基于灰色-BP神经网络的综合预测模型 — 预测类，小样本预测
    • 基于遗传算法的BP神经网络优化算法 — 评价类、预测类，精度更高
    • 基于小波变化-神经网络的预测模型 — 预测类，大样本的预测
  • 设计专门的方法或模型对问题进行求解
    • 新设计的算法逻辑正确，推导合理
    • 新设计的算法能够用于求解建模赛题
    • 新设计的算法比现有算法更适用

• 常见赛题种类及结果展现形式

  • 数学物理类等需要计算参数或结果
    • 务必给出具体结果，注意单位
  • 评价或预测类
    • 结合图表，注意图标格式和简单美化
  • 需要解释原因、给出意见或建议等开放类
    • 结合建模结果进行分条撰写，文笔简练，有理有据

6.模型检验

• 对所建立的模型就其可行性、准确性和实用性等进行检验
• 常见要求和模型特点
  • 稳定性与敏感性分析
    • 检验模型中某参数变化是否会引起模型输出产生变化
    • 敏感性差意味着稳定性强
    • 适用场景：模型中存在固定参数
    • 原因：判断模型是否适用于更多场景
  • 统计检验与误差分析
    • 都是判断模型是否准确合理的指标
    • 统计检验亦称“假设检验”，根据抽样结果，在一定可靠性程度上对一个或多个总体分布的原假设做出拒绝还是不拒绝结论的程序，主要包括t检验和f检验。统计检验主要写在建模过程中，基本不写在文末
    • 误差分析是当我们设计并训练好模型之后，就需要在测试集上进行验证。而当模型在测试集上的效果不佳后，我们就需要从模型在测试集上的误差来源进行分析。一般含真实数据的误差分析直接写在模型求解部分，若无真实数据则主要在文末进行误差来源都分析
  • 新旧模型对比
    • 主要在模型建立或求解中
    • 使用场景：原有模型无法更好的解答赛题
    • 原因：使模型能更好的解决赛道
    • 注意
      • 结果精确度
      • 模型复杂度
      • 模型运行效率
      • 模型可推广性

7.模型优缺点评价

• 所谓模型优缺点评价往往并不局限于模型本身，在整个建模过程中所表露出的优缺点均可在最后进行陈述，一般撰写模型优缺点的基本原则是优点说充分，缺点不回避

• 常见优点表达形式

  • 模型或思路设计的简洁实用，效率高
  • 本文建立的模型具有很强的创新性
  • 模型的计算结果精确，精度高
  • 模型考虑的系统全面，有很强的实用性
  • 对模型进行了各类检验、稳定性高
  • 模型本事呢具有的优点

• 常见缺点表达形式

  • 受xx因素限制，未考虑xx情况，影响精度
  • 本文考虑的因素较为理想，降低了模型的普适性和推广能力
  • 由于系统考虑了xx等因素，导致模型较为复杂，计算时间长，效率低
  • 模型本身具有的缺点

8.参考文献

• 是在学术研究过程中，对某一著作或论文的整体的参考或借鉴；是科技研究与学术道德规范的重要组成部分
• 引用范围：如在论文中引用或参考了他人的科研成果，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处或参考文献中均明确列出