层次分析法
引入
生活中有很多决策问题，需要依据一定的标准选择某一种方案。比如，买衣服一般依据质量、颜色、价格、款式等因素选择。
以一个例子引入：
| 物品 | 因素1 | 因素2 | 因素3 | 因素4 |
| A | 6000w | 10 | 6.5 | 25 |
| B | 3400w | 6 | 8.1 | 46 |
| C | 5500w | 8 | 7.5 | 31 |
如何综合这几个因素，以某种标准，选出A、B、C三者的最优？
显然，直接相加不可取，因为这样因素1掩盖了另外三个，成为决定性因素。因此我们想到，要化为同一数量级，且保证在同一个指标下，差距不变。
可以考虑归一化处理：指标的数组![[a,b,c]\Rightarrow [\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c}]](http://img.e-com-net.com/image/info8/0d4426373f794fc59b07f11f2287d7f2.png){kind=small}
| 物品 | 因素1 | 因素2 | 因素3 | 因素4 | 评分 |
| A | 0.4 | 0.42 | 0.29 | 0.25 | 1.36 |
| B | 0.23 | 0.25 | 0.37 | 0.45 | 1.30 |
| C | 0.37 | 0.33 | 0.34 | 0.30 | 1.35 |
实际上，这里的评分栏是简单相加，没有考虑每种因素可能有不同权重，还不够全面，下面加入对加权的考虑。
| 物品 | 因素1（0.4） | 因素2（0.3） | 因素3（0.2） | 因素4（0.1） | 评分 |
| A | 0.4 | 0.42 | 0.29 | 0.25 | 0.365 |
| B | 0.23 | 0.25 | 0.37 | 0.45 | 0.293 |
| C | 0.37 | 0.33 | 0.34 | 0.30 | 0.342 |
这里的权重是随便设置的，不同的权重占比会很大程度上影响排名，实际上这种设置具有很大的主观性，很影响对数据的分析，那么如何科学设置权重？
层次分析法（AHP）
是对一些较为复杂、较为模糊的问题做出决策的简易方法，它特别适用那些难于完全定量分析的问题。
原理
首先把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素按其属性及其关系形成若干层。上层元素支配下层元素。层次分为三类：
- 最高层：只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。（例子中选出最优物品）
- 中间层：包含了为实现目标所设计的中间环节，可以由若干层次组成，包括所需的准则、子准则。（例子中各种判断优劣的指标）
- 最底层：包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案。（A、B、C三个物品）
运用步骤
- 建立递阶层次结构模型
- 构造出各层次中的所有判断矩阵（对指标的重要性进行两两比较，构造判断矩阵，从而科学求出权重；矩阵中元素
的意义是，第i个指标相对于第j个指标的重要程度）
判断矩阵标度
| 标度 | 含义 |
| 1 | 两因素具有同样重要性 |
| 3 | 一个比另一个稍微重要 |
| 5 | 一个比另一个明显重要 |
| 7 | 一个比另一个强烈重要 |
| 9 | 一个比另一个极端重要 |
| 2，4，6，8 | 相邻判断的中值 |
- 一致性检验
由于构造矩阵时，我们每次都是两两决定重要程度，当变量多了，就容易出现矛盾（因为是人为构造），因此要进行一致性检验。
正互反矩阵：每个元素大于0且
一致矩阵：满足
的正互反矩阵
一致性检验步骤：
计算一致性指标CI
查找对应的平均随机一致性指标RI
计算一致性比例CR：
- 求权重后进行评价
求权重步骤
算数平均法
- 判断矩阵按照列归一化
- 归一化的各列相加
- 相加后得到的向量中每个元素除以n
几何平均法
- 判断矩阵按照行相乘得到新的列向量
- 新向量每个分量开n次方
- 对该列向量进行归一化
特征值法
- 求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量
- 对求出的特征向量归一化
Python代码
import numpy as np
class AHP:
def __init__(self, array):
# 记录矩阵相关信息
self.array = array
# 记录矩阵大小
self.n = array.shape[0]
# 初始化RI值，用于一致性检验
self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,
1.59]
# 矩阵的特征值和特征向量
self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)
# 矩阵的最大特征值
self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)
# 矩阵最大特征值对应的特征向量
self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real
# 矩阵的一致性指标CI
self.CI_val = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)
# 矩阵的一致性比例CR
self.CR_val = self.CI_val / (self.RI_list[self.n - 1])
def test_consist(self):
# 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR
print("判断矩阵的CI值为：" + str(self.CI_val))
print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_val))
# 进行一致性检验判断
if self.n == 2: # 当只有两个子因素的情况
print("仅包含两个子因素，不存在一致性问题")
else:
if self.CR_val < 0.1: # CR值小于0.1，可以通过一致性检验
print("判断矩阵的CR值为" + str(self.CR_val) + ",通过一致性检验")
return True
else: # CR值大于0.1, 一致性检验不通过
print("判断矩阵的CR值为" + str(self.CR_val) + "未通过一致性检验")
return False
def cal_weight_by_arithmetic_method(self):
# 求矩阵的每列的和
col_sum = np.sum(self.array, axis=0)
# 将判断矩阵按照列归一化
array_normed = self.array / col_sum
# 计算权重向量
array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n
# 打印权重向量
print("算术平均法计算得到的权重向量为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
def cal_weight__by_geometric_method(self):
# 求矩阵的每列的积
col_product = np.product(self.array, axis=0)
# 将得到的积向量的每个分量进行开n次方
array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)
# 将列向量归一化
array_weight = array_power / np.sum(array_power)
# 打印权重向量
print("几何平均法计算得到的权重向量为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
def cal_weight__by_eigenvalue_method(self):
# 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重
array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)
# 打印权重向量
print("特征值法计算得到的权重向量为：\n", array_weight)
# 返回权重向量的值
return array_weight
if __name__ == "__main__":
# 给出判断矩阵
b = np.array([[1, 1 / 3, 1 / 8], [3, 1, 1 / 3], [8, 3, 1]])
# 一致性检验
AHP(b).test_consist()
# 算术平均法求权重
weight1 = AHP(b).cal_weight_by_arithmetic_method()
# 几何平均法求权重
weight2 = AHP(b).cal_weight__by_geometric_method()
# 特征值法求权重
weight3 = AHP(b).cal_weight__by_eigenvalue_method()