【机器学习笔记】1 线性回归

回归的概念

二分类问题可以用1和0来表示

线性回归（Linear Regression）的概念

是一种通过属性的线性组合来进行预测的线性模型，其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化（点越靠近这条线越好）

线性回归的符号约定

如上表所示m行记录，标签（房价）是y，前面几列列名是特征x，有n=4个特征

线性回归-算法流程

训练数据利用机器学习算法得到模型，输入特征经过模型计算得到预测结果

损失函数(Loss Function)

度量单样本预测的错误程度，损失函数值越小，模型就越好。常用的损失函数包括：0-1损失函数、平方损失函数、绝对损失函数、对数损失函数等

损失函数采用平方和损失：

要找到一组 (₀, ₁, ₂, . . . , ) ，使得（残差平方和）最小。
注：损失函数的系数1/2是为了便于计算，使对平方项求导后的常数系数为1，这样在形式上稍微简单一些。有些教科书把系数设为1/2，有些设置为1，这些都不影响结果。

代价函数(Cost Function)

度量全部样本集的平均误差。常用的代价函数包括均方误差、均方根误差、平均绝对误差等。

目标函数(Object Function)

代价函数和正则化函数，最终要优化的函数。

线性回归求解方式-最小二乘法（LSM）

梯度下降

基本思想

###梯度下降的三种形式

• 批量梯度下降（Batch Gradient Descent,BGD）
  梯度下降的每一步中，都用到了所有的训练样本
  

• 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent,SGD）
  梯度下降的每一步中，用到一个样本，在每一次计算之后便更新参数 ，而不需要首先将所有的训练集求和
  
  

• 小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent,MBGD）
  梯度下降的每一步中，用到了一定批量的训练样本，每计算常数次训练实例，便更新一次参数w

梯度下降与最小二乘法的比较

梯度下降：需要选择学习率，需要多次迭代，当特征数量大时也能较好适用，适用于各种类型的模型。
最小二乘法：不需要选择学习率，一次计算得出，需要计算 ⁻¹，如果特征数量较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为(³)，通常来说当小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型。

数据归一化/标准化

解决特征尺度不一样的问题

归一化（最大-最小规范化）

数据归一化的目的是使得各特征对目标变量的影响一致，会将特征数据进行伸缩变化，所以数据归一化是会改变特征数据分布的。

Z-Score标准化

数据标准化为了不同特征之间具备可比性，经过标准化变换之后的特征数据分布没有发生改变。就是当数据特征取值范围或单位差异较大时，最好是做一下标准化处理。

• 需要做数据归一化/标准化
  线性模型，如基于距离度量的模型包括KNN(K近邻)、K-means聚类、感知机和SVM。另外，线性回归类的几个模型一般情况下也是需要做数据归一化/标准化处理的。
• 不需要做数据归一化/标准化
  决策树、基于决策树的Boosting和Bagging等集成学习模型对于特征取值大小并不敏感，如随机森林、XGBoost、LightGBM等树模型，以及朴素贝叶斯，以上这些模型一般不需要做数据归一化/标准化处理。

拟合相关

过拟合的处理

1. 获得更多的训练数据
   使用更多的训练数据是解决过拟合问题最有效的手段，因为更多的样本能够让模型学习到更多更有效的特征，减小噪声的影响。
   通过这张图可以看出，各种不同算法在输入的数据量达到一定级数后，都有相近的高准确度。于是诞生了机器学习界的名言：成功的机器学习应用不是拥有最好的算法，而是拥有最多的数据！
2. 降维
   即丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）。
3. 正则化
   正则化(regularization)的技术，保留所有的特征，但是减少参数的大小（magnitude），它可以改善或者减少过拟合问题。
   
   最后一种是把L1正则化和L2正则化混合
   
   图上面中的蓝色轮廓线是没有正则化损失函数的等高线，中心的蓝色点为最优解，左图、右图分别为L1、L2正则化给出的限制。
   可以看到在正则化的限制之下, 正则化给出的最优解w是使解更加靠近原点,也就是说正则化能降低参数范数的总和。
   正则化给出的最优解w是使解更加靠近某些轴,而其它的轴则为0,所以正则化能使得到的参数稀疏化。
4. 集成学习方法
   集成学习是把多个模型集成在一起，来降低单一模型的过拟合风险。

欠拟合的处理

1. 添加新特征
   当特征不足或者现有特征与样本标签的相关性不强时，模型容易出现欠拟合。通过挖掘组合特征等新的特征，往往能够取得更好的效果。
2. 增加模型复杂度
   简单模型的学习能力较差，通过增加模型的复杂度可以使模型拥有更强的拟合能力。例如，在线性模型中添加高次项，在神经网络模型中增加网络层数或神经元个数等。
3. 减小正则化系数
   正则化是用来防止过拟合的，但当模型出现欠拟合现象时，则需要有针对性地减小正则化系数

回归的评价指标

均方误差（Mean Square Error,MSE）

均方根误差 RMSE(Root Mean Square Error,RMSE)平均绝对误差（Mean Absolute Error,MAE）

R方 [(2)]


越接近于1,说明模型拟合得越好