最长公共子序列(LeetCode 1143)

题目

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

示例 2:

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。

示例 3:

输入：text1 = "abc", text2 = "def"

输出：0

解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:

1 <= text1.length <= 1000

1 <= text2.length <= 1000

输入的字符串只含有小写英文字符。

解析（类似背包问题）

dp table

对于两个子序列 S1 和 S2，找出它们最长的公共子序列。
定义一个二维数组 dp 用来存储最长公共子序列的长度，其中 dp[i][j] 表示 S1 的前 i 个字符与 S2 的前 j 个字符最长公共子序列的长度。考虑 S1i 与 S2j 值是否相等，分为两种情况：

1. 当 S1i==S2j 时，那么就能在 S1 的前 i-1 个字符与 S2 的前 j-1 个字符最长公共子序列的基础上再加上 S1i 这个值，最长公共子序列长度加 1，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
2. 当 S1i != S2j 时，此时最长公共子序列为 S1 的前 i-1 个字符和 S2 的前 j 个字符最长公共子序列，或者 S1 的前 i 个字符和 S2 的前 j-1 个字符最长公共子序列，取它们的最大者，即 dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }。

综上，最长公共子序列的状态转移方程为：

image.png

对于长度为 N 的序列 S1 和长度为 M 的序列 S2，dp[N][M] 就是序列 S1 和序列 S2 的最长公共子序列长度。

 public int LongestCommonSubsequence(string text1, string text2)
    {
        if (text1.Length == 0 || text2.Length == 0) return 0;
        int[,] dp = new int[text1.Length + 1, text2.Length + 1];//初始化dp，dp的长度比字符串长度大一
        for (int i = 1; i <= text1.Length; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= text2.Length; j++)
            {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) //此处是取字符串的上一位
                    dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1] + 1; 
                else
                    dp[i, j] = Math.Max(dp[i - 1, j], dp[i, j - 1]);
            }
        }
        return dp[text1.Length, text2.Length];
    }