【算法】传纸条（动态规划）

题目

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。 

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0∼100 的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n，表示学生矩阵有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度，每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围

1≤n,m≤50

输入样例：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例：

34

代码

#include
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int fa[N][N];
int ans[N * 2][N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> fa[i][j];
    
    for(int k = 2; k <= n + m; k ++)
        for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++)
            {
                int j1 = k - i1,j2 = k - i2;
                if(j1 < 1 || j1 > m || j2 < 1 || j2 > m) continue;
                int t = fa[i1][j1];
                if(i1 != i2) t += fa[i2][j2];
                int &x = ans[k][i1][i2];
                x = max(x,ans[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
                x = max(x,ans[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
                x = max(x,ans[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
                x = max(x,ans[k - 1][i1][i2] + t);
            }
    cout << ans[n + m][n][n] << endl;
    return 0;
}

难度：中等

时/空限制：1s / 64MB

总通过数：22785

总尝试数：48787

来源：《算法竞赛进阶指南》, NOIP2008提高组,Google面试题

算法标签 DP线性DP

题目来自： 275. 传纸条 - AcWing题库