FDTD的边界条件设置

PML边界条件

完美匹配层（Perfectly Matched Layers，简称PML）是一种高级吸收边界条件，在有限差分时域法（Finite-Difference Time-Domain，简称FDTD）模拟中被广泛应用、。PML旨在通过在仿真区域边缘设置一层复杂材料属性的结构来吸收离开仿真区域的波，而不将它们反射回计算区域内，从而减少或消除不真实的反射，使得仿真结果更加准确。

为了方便选择PML参数，在“边界条件”选项卡下的PML设置表中提供了多种预设配置文件。在大多数模拟场景下，用户只需从预定义的配置文件（标准型、稳定型、陡角度型和自定义型）中选择一种，并微调层数即可。对于所有配置文件来说，增加PML层的数量通常会导致反射降低。

PML配置文件可以为每个PML边界单独设置。要启用此选项，只需取消勾选PML设置表顶部的“在所有边界上应用相同设置”选项。这样用户就可以根据实际需求，在需要的边界上进行调整，比如仅增加特定边界的层数。

PML配置文件选项

Standard

标准型PML配置文件旨在使用相对较少的层数提供良好的整体吸收效果。大量PML层会显著增加模拟时间，因此建议首先尝试此配置文件。如果模拟中不存在穿过PML区域的材料边界，则该配置文件几乎肯定是最佳选择。一般来说，当结构完全贯穿整个PML区域时，PML边界的表现最佳。若材料界面穿过了PML区域，可能需要采用稳定型配置文件。

Stablized

稳定型 当材料边界穿过PML区域时，有可能出现数值不稳定性问题。这些问题通常表现为PML区域内局部场振幅的指数增长（通常发生在材料界面附近）。大部分在PML区域内可能出现的数值不稳定现象可以通过使用稳定型配置文件得以解决，但与标准型相比，该配置文件可能需要更多的PML层才能达到相同的吸收性能。稳定型配置文件的设计目标是在牺牲减小层数的前提下提高稳定性。

Steep angle

陡角型 此配置文件与标准配置文件非常相似，主要应用于结合了周期性边界条件的PML边界情况。它专为光线近乎平行于PML边界的场合设计，以增强吸收效果。在较粗略的离散化设置（每波长少于十个点）下，此配置文件的吸收性能通常低于标准配置文件。

Custom

标准型、稳定型和陡角度型PML配置文件具有固定的参数值。而自定义型配置文件允许用户进行实验性探索，赋予用户对所有PML参数值的完全控制权。自定义型配置文件的初始值取自标准配置文件。

PML的参数

与传统边界条件不同，PML边界具有一定的厚度。换句话说，它们占据了一个围绕模拟区域的有限体积，在这个体积内实现对光线的吸收。

LAYERS（层数）：出于离散化目的，PML区域被划分为多个层。

KAPPA, SIGMA, ALPHA：PML区域的吸收特性由三个参数控制。这些参数的具体定义可在本页底部第二篇参考文献中找到。按照定义，kappa是无量纲的，但sigma和alpha在输入PML设置表时需作为归一化的无量纲值。kappa、sigma和alpha在PML区域内均通过多项式函数进行分级调整。参数alpha有时在参考文献[2]中被称为复频率偏移（Complex Frequency Shift, CFS）。其主要作用是提高数值稳定性。增大alpha / sigma的比例将使PML边界更稳定，但会降低其吸收效率，这就是为什么稳定型配置文件需要更多层数的原因。要恢复alpha和sigma的SI单位值，需要将其乘以真空介电常数的两倍，并除以模拟中所采用的时间步长。

POLYNOMIAL（多项式阶数）：用于指定用于分级kappa和sigma的多项式的阶数。

ALPHA POLYNOMIAL（alpha多项式阶数）：用于指定用于分级alpha的多项式的阶数。

MIN LAYERS, MAX LAYERS（最小层数、最大层数）：这两个参数确保了PML层数值在一个合理的范围内，从而避免设置不合理或不适宜的层数值。

周期性边界条件

使用周期边界条件相对简单：只需将模拟范围设置为一个单元格宽度，并为该边界选择周期边界条件。当模拟运行时，周期边界条件会简单地复制发生在模拟一侧的电磁场（EM fields），并在另一侧注入这些场。

最重要的一点是，在使用周期边界条件时，系统中的所有内容都必须是周期性的，包括物理结构和电磁场。常见的错误来源是在结构周期但电磁场不周期的系统中使用周期边界条件，例如：

周期结构受到沿一定角度传播的平面波照射。在这种情况下，场并不完全周期性，因为设备每个周期之间存在相位差。此时应采用布洛赫边界条件（Bloch BCs）代替。
周期结构被单个偶极子源激发，如OLED模拟中的情况。由于只有一个偶极子而非每个周期都有一个偶极子，所以系统并不具备周期性。

bloch边界条件

Bloch边界条件（Bloch BCs）在多种情况下使用，其中最常见的场景是在模拟被斜入射平面波源照射的周期结构时。如果使用的是BFAST平面波源，则其内置的BCs会自动覆盖Bloch BCs。

与周期边界条件相比，在考虑由平面波源照明的周期结构时，Bloch BCs最容易理解。当一个周期结构受到沿某一角度传播的平面波照射时：

周期边界条件简单地将模拟区域一侧边界的场复制并重新注入到另一侧边界，而不进行任何相位调整。

而Bloch边界条件则非常相似，但在从一侧边界复制到另一侧边界的过程中，它会对场施加一个相位修正。

数学表达上，对于沿着x轴方向的一个周期结构单元内的电场Ex：

在左侧边界（min）：
$$E_{x,min}=e^{-ia{k}_{bloch}}$$

在右侧边界（max）：
$$E_{x,max}=e^{ia{k}_{bloch}}$$

当平面波以一定角度传播时，从一个周期到下一个周期，场不再是严格周期性的，它们之间会有一定的相位差。Bloch边界条件通过引入这个相位修正因子来弥补这种差异，从而确保模拟能够准确捕捉到倾斜入射情况下周期结构的响应。

对称与反对称条件

在电磁场存在对称面时，某些场分量必须在对称面上为零。通过对适当的场分量强制置零来实现对称边界条件。

• 对称边界（Symmetric Boundary）

法向电场（Normal Electric Field）： 零
切向电场（Tangential Electric Field）：非零
法向磁场（Normal Magnetic Field）：非零
切向磁场（Tangential Magnetic Field）： 零

• 反对称边界（Anti-Symmetric Boundary）

法向电场（Normal Electric Field）： 零
切向电场（Tangential Electric Field）： 零
法向磁场（Normal Magnetic Field）：非零
切向磁场（Tangential Magnetic Field）：非零

在对称边界条件下，切向电场和法向磁场可以在对称面上具有非零值，并且它们的分布满足特定的对称或反对称要求。而在反对称边界条件下，除了法向磁场外，其他所有方向上的场分量都必须在对称面上为零。

反射对称规则

对称边界（Symmetric Reflection）：

当一个平面是对称面时，电场和磁场在反射后必须保持不变或具有镜像对称性。
对于电场：如果切向电场分量在对称面上是连续的，则它在反射后方向相同；而法向电场分量在对称面上必须为零，因为它不能在反射后指向相反的方向。
对于磁场：与电场类似，如果磁场的切向分量在对称面上连续，则其方向在反射后保持不变；而法向磁场分量也必须为零。

反对称边界（Anti-Symmetric Reflection）：

在反对称条件下，某些场分量在经过对称面反射后会改变符号，即它们呈现出反向对称性。
通常，法向电场分量无论在哪种情况下（对称或反对称边界）都必须为零，因为其正负方向无法同时满足对称条件。
对于切向电场，在反对称边界上，电场在反射后要反转方向，因此它的值在对称面上必须为零。
磁场方面，若存在某种特定的反对称条件，则切向磁场分量可能在反射后改变方向，但法向磁场分量依然可以是非零的，只要它满足穿过对称面后大小不变、方向翻转的要求。

使用对称结构实现周期性结构

如果电磁场在周期结构的一个周期的中部存在对称面或反对称面，则应按以下方式设置边界条件：

选择所有边界条件上的“允许对称性”选项。

根据上述给出的对称规则，将最小和最大边界条件分别设置为对称或反对称。如下图