【光学】基于matlab实现弹性FDTD二维波传播

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内容介绍

摘要

本文介绍了弹性有限差分时域 (FDTD) 方法用于求解二维弹性波传播问题的理论和实现。该方法将弹性波动方程离散化为一组有限差分方程，并使用显式时间积分方案求解。本文详细介绍了 FDTD 方法的推导、边界条件的处理和计算的实现。数值算例验证了该方法的准确性和效率。

引言

弹性波传播在许多科学和工程领域中具有重要的应用，例如地震学、声学和非破坏性检测。求解弹性波传播问题需要考虑介质的弹性特性，如杨氏模量、泊松比和密度。有限差分时域 (FDTD) 方法是一种广泛用于求解波传播问题的数值方法，它将偏微分方程离散化为一组有限差分方程，并使用显式时间积分方案求解。

FDTD 方法的推导

对于二维弹性介质，弹性波动方程为：

ρ∂²u/∂t² = (λ + 2μ)∇(∇·u) - μ∇²u

其中，ρ 为密度，λ 和 μ 分别为拉梅常数，u 为位移矢量。

FDTD 方法将空间和时间离散化为网格。记网格点 (i, j) 处的位移矢量为 u(i, j, t)，则有限差分方程为：

ρ(u(i, j, t+Δt) - 2u(i, j, t) + u(i, j, t-Δt)) / Δt² =
(λ + 2μ)(∂(∂u/∂x)(i, j, t) / ∂x + ∂(∂u/∂y)(i, j, t) / ∂y) -
μ(∂²u/∂x²(i, j, t) + ∂²u/∂y²(i, j, t))

其中，Δt 为时间步长。

边界条件的处理

在求解波传播问题时，需要考虑边界条件。常见的边界条件包括：

• 吸收边界条件： 吸收入射波，防止波在边界处反射。

• 完美匹配层 (PML)： 吸收入射波，且不会产生反射。

• 周期性边界条件： 将计算区域视为周期性，即波在边界处会继续传播。

计算的实现

FDTD 方法的计算实现主要包括以下步骤：

1. 初始化网格和边界条件。

2. 根据初始条件计算位移矢量。

3. 循环时间步长，更新位移矢量。

4. 根据位移矢量计算应力张量。

5. 可视化或分析计算结果。

部分代码

% Simple FDTD seismic wave propagation in 2D elastic isotropic medium% %% We solve wave equation in time domain and displacement formulation% getting wavefield in terms of displacement vector [ux, uz].%% Elastic medium is parametrized by Lame parameters and density, we show% Courant condition and number of points per wavelength prior running %% loop over time steps.%% Conventional FD star-stencils deliver accuracy O(2,2)% [1 -2 1]/dx2 and [1 -1 -1 1]/4dxdz% --------------------------------------------------------------% The code is intentionally writen in a single file% to simplify start up.%% The program does not save any files, add such option manually if needed.% Drawing the wavefield is the most computationally demanding. Increase % IT_DISPLAY value to reduce output and accelerate computation.%% The goal is to provide a simple example of wave propagation% in elastic medium.%% --% --------------------------------------------------------------​close all;clear all;​% Output periodicity in time stepsIT_DISPLAY = 10;​%% MODEL% Model dimensions, [m]nx = 401;

⛳️ 运行结果

本文介绍了弹性 FDTD 二维波传播的方法和实现。该方法能够准确高效地求解弹性波传播问题。数值算例验证了该方法的准确性和效率。该方法可用于研究各种弹性波传播现象，在地震学、声学和非破坏性检测等领域具有广泛的应用前景。

参考文献

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