全国大学生数学竞赛备考——高数上（极限、导数、微分、积分、级数）

• 全国大学生数学竞赛
  竞赛进程分为两个阶段，第一阶段为全国大学生数学竞赛初赛(也称为预赛、赛区赛) 第二阶段为全国大学生数学竞赛决赛

非数学类：竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学 (只有高等数学一门课程)课程的教学内容，高等数学教材中出现的，包括选修的、打了*号的内容都会覆盖（可以参考同济大学第七版教材内容，也可以参考一般的工科数学分析教材）！
时间： 两个半小时
题目：5道填空，6道大题，满分100分，一般七十多可以拿一等奖

极限

两个重要极限公式

• 第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1 (x->0)，
  

• 第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e (x→∞)
  

常用极限公式

1、e^x-1～x (x→0)
2、 e(x²)-1～x² (x→0)
3、1-cosx～1/2x² (x→0)
4、1-cos(x²)～1/2x⁴ (x→0)
5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、a^x-1~xlna (x→0)
10、ln(1+x)~x (x→0)
11、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)
12、[(1+x)^1/n]-1~1/n x (x→0)
13、loga(1+x)~x/lna(x→0)
14、n^1/n~1 (n→+∞)

导数、微分与积分

牛顿-莱布尼茨公式

莱布尼兹公式

微分中值定理

罗马中值定理

如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

拉格朗日中值定理

如果函数 f(x) 满足：
1)在闭区间[a,b]上连续；
2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

柯西定理

如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F’(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)
成立

泰勒公式

Taylor’s theorem — Let k ≥ 1 be an integer and let the function f : R → R be k times differentiable at the point a ∈ R. Then there exists a function hk : R → R such that
$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+h_k(x)(x-a{)}^k,f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+h_k(x)(x-a{)}^k,$$
and
$$\underset{x\to a}{\lim }{h}_k(x)=0.\underset{x\to a}{\lim }{h}_k(x)=0.$$
This is called the Peano form of the remainder 皮亚诺余项
若a=0， 公式就称为n阶麦克劳林公式

几个常见的麦克劳林公式

洛必达

• 0/0
• ∞/∞

曲率

曲率圆

R = 1/K

牛顿迭代法

积分中值定理

分部积分法

$$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$$
$$\int udv=uv-\int vdu$$

级数

级数（英語：Series）是数学中一个有穷或无穷的序列例如$u_1,u_2,u_3,u_4\dots$之和，即$s=u_1+u_2+u_3+\dots$，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。

正项级数审敛法

正项级数就是每一项都大于等于0

• 比较审敛
  若满足$u_n<=v_n$ 对所有n成立。
  $$\begin{gathered} \text{若}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{收敛，则}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛} \\ \text{若}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散，则}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{发散} \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} \text{若}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\lambda \left(0-\infty \right)\text{，则}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{与}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{有相同收敛性} \\ \text{若}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0\text{，若}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{收敛，则}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛} \\ \text{若}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\infty \text{，若}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{发散，则}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{发散} \end{gathered}$$

• 比值审敛
  $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$$
  当$\rho$ <1,级数收敛
  当$\rho$ >1,级数发散
  当$\rho$ =1,级数可能收敛可能发散。

• 根值审敛
  $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$$
  当$\rho$ <1,级数收敛
  当$\rho$ >1,级数发散
  当$\rho$ =1,级数可能收敛可能发散。

• 积分审敛
  $$\text{若}{u}_n=f\left(n\right)\text{，则}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{与}{\int }_1^{+\infty }f\left(x\right)dx\text{有相同收敛性}$$

绝对收敛和条件收敛

• 绝对收敛
  $$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|\text{收敛}$$

• 条件收敛
  $$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|\text{发散，但}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{收敛}$$

交错级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n+1}{u}_n$$

莱布尼茨定理

对于上式

• {un}单调递减。
• ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$

则交错级数收敛。

幂级数

泰勒级数

欧拉公式

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
$$e^{i\pi }+1=0$$

傅里叶级数

$$f\left(x\right)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
傅里叶系数：
$$\begin{gathered} a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }f\left(x\right)dx \\ {a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }f\left(x\right)\cos nxdx \\ {b}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }f\left(x\right)\sin nxdx \end{gathered}$$