【数据结构 08】红黑树

一、概述

红黑树,是一种二叉搜索树,每一个节点上有一个存储位表示节点的颜色,可以是Red或Black。

通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长上两倍,因而是接进平衡的。

【数据结构 08】红黑树_第1张图片

红黑树性质:

  • 根节点是黑色
  • 红节点的两个孩子一定是黑色的;黑节点的两个孩子不一定是红色的。没有连续的红节点
  • 对于每个节点,从该节点到其后所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑节点
  • 每个叶子节点都是黑色的(NIL空节点)

二、算法

红黑树在设计的时候,插入策略与AVL树一样,只是插入之后的调整策略与AVL不同(旋转策略是一样的,但是红黑树需要考虑变色且无需再考虑平衡因子)

只看遍历的时间复杂度的话,AVL树的时间复杂度是低于红黑树的,因为AVL树的时间复杂度是无限接近于O(\log_2 n),而红黑树的时间复杂度是O(\log_2 n) ~2 * O(\log_2 n),但这在系统层面的时间损失很小。

从调整策略的角度,红黑树的调整次数与旋转次数都远低于AVL树。所以综合来看,红黑树的性能是优于AVL树的,map和set的底层封装的也正是红黑树。

三、调整策略

红黑树的根节点一定是黑色,新插入的节点默认为是红色。

当新插入一个红色节点cur时,先观察cur的父节点parent,如果父节点是黑色,则无需调整;如果父节点也是红节点,那么再观察cur节点的叔叔节点uncle,根据uncle节点的情况进行调整。

红黑树调整策略的核心思路:不能出现连续的红色节点,每条路径的黑色节点数量一样

调整策略分为三种情况:

  • 情况1:父节点parent和叔叔节点uncle都是红色,此时只需变色调整,不需旋转,并向上调整
  • 情况2:父节点parent为红色,叔叔节点不存在或为黑色,cur节点和parent节点都同为左节点或同为右节点,此时需要左单旋或者右单旋,无需向上调整
  • 情况3:父节点parent为红色,叔叔节点不存在或为黑色,cur节点为左节点时parent节点为右节点,或者cur节点为右节点时parent节点为左节点,此时需要左右双旋或者右左双旋,无需向上调整

情况1:parent节点是红色,uncle节点也是红色

调整方法:parent节点与uncle节点变为黑色,祖父节点grandparent节点变为红色,然后将cur变为祖父节点,parent节点依然为cur节点的父节点,向上调整,直到出现parent节点为空,最后再将根节点置为黑色。

如图:

【数据结构 08】红黑树_第2张图片 情况1

 

【数据结构 08】红黑树_第3张图片 情况1

情况2: 父节点parent为红色,叔叔节点不存在或为黑色,cur节点和parent节点都同为左节点或同为右节点

调整方法:以祖父节点grandparent为轴点进行左单旋或则右单旋,父节点变成黑色,祖父节点变成红色。

如图:

【数据结构 08】红黑树_第4张图片 情况2 【数据结构 08】红黑树_第5张图片 情况1 情况2 结合调整

情况3:父节点parent为红色,叔叔节点不存在或为黑色,cur节点为左节点时parent节点为右节点,或者cur节点为右节点时parent节点为左节点

调整方法:先以parent节点为轴心进行左单旋或者右单旋,再以grandparent节点为轴心进行与上一步操作相反的单旋,最后将cur节点变成黑色,将grandparent节点变为红色

示例:将数列{ 16, 3, 7, 9, 26, 18, 14, 15, 13, 11 }按顺序插入红黑色中

【数据结构 08】红黑树_第6张图片 图1 插入16、3、7 【数据结构 08】红黑树_第7张图片 图2 插入9 【数据结构 08】红黑树_第8张图片 图3 插入26、18 【数据结构 08】红黑树_第9张图片 图4 插入14、15 【数据结构 08】红黑树_第10张图片 图5 插入13 【数据结构 08】红黑树_第11张图片 图6 插入11

四、RBTree.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#pragma once
#include 

enum Color
{
	RED,
	BLACK
};

template
struct RBTreeNode
{
	std::pair kv;
	RBTreeNode* parent;
	RBTreeNode* left;
	RBTreeNode* right;
	Color col;

	RBTreeNode(const std::pair& x)
		: kv(x), parent(nullptr), left(nullptr), right(nullptr), col(RED)
	{}
};

template
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode Node;
public:
	bool Insert(const std::pair& x)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(x);
			_root->col = BLACK;
			return true;
		}

		// 寻找新节点该插入的位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			if (cur->kv.first > x.first)
				cur = cur->left;
			else if (cur->kv.first < x.first)
				cur = cur->right;
			else
				return false;
		}

		// 创建新节点
		cur = new Node(x);
		cur->parent = parent;
		if (parent->kv.first > x.first)
			parent->left = cur;
		else
			parent->right = cur;

		// 调整颜色
		while (parent && parent->col == RED)
		{
			Node* grandpa = parent->parent;
			if (grandpa->left == parent)
			{
				Node* uncle = grandpa->right;
				if (uncle && uncle->col == RED)
				{
					// 情况1,变色
					parent->col = uncle->col = BLACK;
					grandpa->col = RED;

					cur = grandpa;
					parent = cur->parent;
				}
				else
				{
					if (parent->left == cur)
					{
						// 情况2,右单旋
						_RotateRight(grandpa);

						parent->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					else
					{
						// 情况3,左右双旋
						_RotateLeft(parent);
						_RotateRight(grandpa);

						cur->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandpa->left;
				if (uncle && uncle->col == RED)
				{
					// 情况1,变色
					parent->col = uncle->col = BLACK;
					grandpa->col = RED;

					cur = grandpa;
					parent = cur->parent;
				}
				else
				{
					if (parent->right == cur)
					{
						// 情况2,左单旋
						_RotateLeft(grandpa);

						parent->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					else
					{
						// 情况3,右左双旋
						_RotateRight(parent);
						_RotateLeft(grandpa);

						cur->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}

		_root->col = BLACK;
		return true;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		std::cout << std::endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
		if (_root->col == RED)
			return false;

		// 计算最左路径上的黑节点数量
		int ref = 0;
		Node* left = _root;
		while (left)
		{
			if (left->col == BLACK)
				++ref;
			left = left->left;
		}

		return _IsBalance(_root, 0, ref);
	}

private:
	void _RotateLeft(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->right;
		Node* subRL = subR->left;

		parent->right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->parent = parent;

		subR->left = parent;
		Node* ppNode = parent->parent;
		parent->parent = subR;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->left == parent)
				ppNode->left = subR;
			else
				ppNode->right = subR;
			subR->parent = ppNode;
		}
	}

	void _RotateRight(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->left;
		Node* subLR = subL->right;

		parent->left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->parent = parent;

		subL->right = parent;
		Node* ppNode = parent->parent;
		parent->parent = subL;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->left == parent)
				ppNode->left = subL;
			else
				ppNode->right = subL;
			subL->parent = ppNode;
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->left);
		std::cout << "<" << root->kv.first << "," << root->kv.second << "> ";
		_InOrder(root->right);
	}

	bool _IsBalance(Node* root, int blackNum, int ref)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (blackNum != ref)
			{
				std::cout << "路径黑色节点数量不相等" << std::endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		
		if (root->col == RED && root->parent->col == RED)
		{
			std::cout << "路径出现连续红节点" << "<" << root->kv.first << "," << root->kv.second << "> " << std::endl;
			return false;
		}

		if (root->col == BLACK)
			++blackNum;

		return _IsBalance(root->left, blackNum, ref)
			&& _IsBalance(root->right, blackNum, ref);

	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

五、test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include "RBTree.h"
#include 

void test1_RBTree()
{
	int arr[] = { 16, 3, 7, 9, 26, 18, 14, 15, 13, 11 };
	//int arr[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	RBTree t;
	for (auto& e : arr)
	{
		t.Insert(std::make_pair(e, e));
	}
	t.InOrder();
	std::cout << std::endl;
	std::cout << t.IsBalance() << std::endl;
}

void test2_RBTree()
{
	RBTree t;
	for (int i = 0; i < 100000; ++i)
	{
		int x = rand() % 10000;
		t.Insert(std::make_pair(x, x));
	}
	t.InOrder();
	std::cout << std::endl;
	std::cout << t.IsBalance() << std::endl;
}

int main()
{
	srand(time(nullptr));
	test1_RBTree();
	//test2_RBTree();

	return 0;
}

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