【数据结构 08】红黑树

一、概述

红黑树，是一种二叉搜索树，每一个节点上有一个存储位表示节点的颜色，可以是Red或Black。

通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长上两倍，因而是接进平衡的。

红黑树性质：

• 根节点是黑色
• 红节点的两个孩子一定是黑色的；黑节点的两个孩子不一定是红色的。没有连续的红节点
• 对于每个节点，从该节点到其后所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑节点
• 每个叶子节点都是黑色的（NIL空节点）

二、算法

红黑树在设计的时候，插入策略与AVL树一样，只是插入之后的调整策略与AVL不同（旋转策略是一样的，但是红黑树需要考虑变色且无需再考虑平衡因子）

只看遍历的时间复杂度的话，AVL树的时间复杂度是低于红黑树的，因为AVL树的时间复杂度是无限接近于，而红黑树的时间复杂度是 ~，但这在系统层面的时间损失很小。

从调整策略的角度，红黑树的调整次数与旋转次数都远低于AVL树。所以综合来看，红黑树的性能是优于AVL树的，map和set的底层封装的也正是红黑树。

三、调整策略

红黑树的根节点一定是黑色，新插入的节点默认为是红色。

当新插入一个红色节点cur时，先观察cur的父节点parent，如果父节点是黑色，则无需调整；如果父节点也是红节点，那么再观察cur节点的叔叔节点uncle，根据uncle节点的情况进行调整。

红黑树调整策略的核心思路：不能出现连续的红色节点，每条路径的黑色节点数量一样

调整策略分为三种情况：

• 情况1：父节点parent和叔叔节点uncle都是红色，此时只需变色调整，不需旋转，并向上调整
• 情况2：父节点parent为红色，叔叔节点不存在或为黑色，cur节点和parent节点都同为左节点或同为右节点，此时需要左单旋或者右单旋，无需向上调整
• 情况3：父节点parent为红色，叔叔节点不存在或为黑色，cur节点为左节点时parent节点为右节点，或者cur节点为右节点时parent节点为左节点，此时需要左右双旋或者右左双旋，无需向上调整

情况1：parent节点是红色，uncle节点也是红色

调整方法：parent节点与uncle节点变为黑色，祖父节点grandparent节点变为红色，然后将cur变为祖父节点，parent节点依然为cur节点的父节点，向上调整，直到出现parent节点为空，最后再将根节点置为黑色。

如图：

情况1

 

情况1

情况2： 父节点parent为红色，叔叔节点不存在或为黑色，cur节点和parent节点都同为左节点或同为右节点

调整方法：以祖父节点grandparent为轴点进行左单旋或则右单旋，父节点变成黑色，祖父节点变成红色。

如图：

情况2 情况1 情况2 结合调整

情况3：父节点parent为红色，叔叔节点不存在或为黑色，cur节点为左节点时parent节点为右节点，或者cur节点为右节点时parent节点为左节点

调整方法：先以parent节点为轴心进行左单旋或者右单旋，再以grandparent节点为轴心进行与上一步操作相反的单旋，最后将cur节点变成黑色，将grandparent节点变为红色

示例：将数列{ 16, 3, 7, 9, 26, 18, 14, 15, 13, 11 }按顺序插入红黑色中

图1 插入16、3、7 图2 插入9 图3 插入26、18 图4 插入14、15 图5 插入13 图6 插入11

四、RBTree.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#pragma once
#include 

enum Color
{
	RED,
	BLACK
};

template
struct RBTreeNode
{
	std::pair kv;
	RBTreeNode* parent;
	RBTreeNode* left;
	RBTreeNode* right;
	Color col;

	RBTreeNode(const std::pair& x)
		: kv(x), parent(nullptr), left(nullptr), right(nullptr), col(RED)
	{}
};

template
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode Node;
public:
	bool Insert(const std::pair& x)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(x);
			_root->col = BLACK;
			return true;
		}

		// 寻找新节点该插入的位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			if (cur->kv.first > x.first)
				cur = cur->left;
			else if (cur->kv.first < x.first)
				cur = cur->right;
			else
				return false;
		}

		// 创建新节点
		cur = new Node(x);
		cur->parent = parent;
		if (parent->kv.first > x.first)
			parent->left = cur;
		else
			parent->right = cur;

		// 调整颜色
		while (parent && parent->col == RED)
		{
			Node* grandpa = parent->parent;
			if (grandpa->left == parent)
			{
				Node* uncle = grandpa->right;
				if (uncle && uncle->col == RED)
				{
					// 情况1，变色
					parent->col = uncle->col = BLACK;
					grandpa->col = RED;

					cur = grandpa;
					parent = cur->parent;
				}
				else
				{
					if (parent->left == cur)
					{
						// 情况2，右单旋
						_RotateRight(grandpa);

						parent->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					else
					{
						// 情况3，左右双旋
						_RotateLeft(parent);
						_RotateRight(grandpa);

						cur->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandpa->left;
				if (uncle && uncle->col == RED)
				{
					// 情况1，变色
					parent->col = uncle->col = BLACK;
					grandpa->col = RED;

					cur = grandpa;
					parent = cur->parent;
				}
				else
				{
					if (parent->right == cur)
					{
						// 情况2，左单旋
						_RotateLeft(grandpa);

						parent->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					else
					{
						// 情况3，右左双旋
						_RotateRight(parent);
						_RotateLeft(grandpa);

						cur->col = BLACK;
						grandpa->col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}

		_root->col = BLACK;
		return true;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		std::cout << std::endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
		if (_root->col == RED)
			return false;

		// 计算最左路径上的黑节点数量
		int ref = 0;
		Node* left = _root;
		while (left)
		{
			if (left->col == BLACK)
				++ref;
			left = left->left;
		}

		return _IsBalance(_root, 0, ref);
	}

private:
	void _RotateLeft(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->right;
		Node* subRL = subR->left;

		parent->right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->parent = parent;

		subR->left = parent;
		Node* ppNode = parent->parent;
		parent->parent = subR;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->left == parent)
				ppNode->left = subR;
			else
				ppNode->right = subR;
			subR->parent = ppNode;
		}
	}

	void _RotateRight(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->left;
		Node* subLR = subL->right;

		parent->left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->parent = parent;

		subL->right = parent;
		Node* ppNode = parent->parent;
		parent->parent = subL;
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->left == parent)
				ppNode->left = subL;
			else
				ppNode->right = subL;
			subL->parent = ppNode;
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->left);
		std::cout << "<" << root->kv.first << "," << root->kv.second << "> ";
		_InOrder(root->right);
	}

	bool _IsBalance(Node* root, int blackNum, int ref)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (blackNum != ref)
			{
				std::cout << "路径黑色节点数量不相等" << std::endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		
		if (root->col == RED && root->parent->col == RED)
		{
			std::cout << "路径出现连续红节点" << "<" << root->kv.first << "," << root->kv.second << "> " << std::endl;
			return false;
		}

		if (root->col == BLACK)
			++blackNum;

		return _IsBalance(root->left, blackNum, ref)
			&& _IsBalance(root->right, blackNum, ref);

	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

五、test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include "RBTree.h"
#include 

void test1_RBTree()
{
	int arr[] = { 16, 3, 7, 9, 26, 18, 14, 15, 13, 11 };
	//int arr[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	RBTree t;
	for (auto& e : arr)
	{
		t.Insert(std::make_pair(e, e));
	}
	t.InOrder();
	std::cout << std::endl;
	std::cout << t.IsBalance() << std::endl;
}

void test2_RBTree()
{
	RBTree t;
	for (int i = 0; i < 100000; ++i)
	{
		int x = rand() % 10000;
		t.Insert(std::make_pair(x, x));
	}
	t.InOrder();
	std::cout << std::endl;
	std::cout << t.IsBalance() << std::endl;
}

int main()
{
	srand(time(nullptr));
	test1_RBTree();
	//test2_RBTree();

	return 0;
}