Acwing---798.差分矩阵

1.题目

输入一个 $n$ 行 $m$列的整数矩阵，再输入 $q$ 个操作，每个操作包含五个整数 $x1,y1,x2,y2,c$，其中 $(x1,y1)$ 和 $(x2,y2)$表示一个子矩阵的左上角坐

标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 $c$。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整数序列。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $l，r，c$，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
$1\le n,m\le 1000,$
$1\le q\le 100000,$
$1\le x1\le x2\le n,$
$1\le y1\le y2\le m,$
$-1000\le c\le 1000,$
$-1000\le 矩阵内元素的值\le 1000$

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

2.基本思想

前缀和的逆运算

如果扩展到二维，我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上$c$,是否也可以达到$O(1)$的时间复杂度。答案是可以的，考虑二维差分。

$a[][]$数组是$b[][]$数组的前缀和数组，那么$b[][]$是$a[][]$的差分数组

原数组： $a[i][j]$

我们去构造差分数组： $b[i][j]$

使得$a$数组中$a[i][j]$是$b$数组左上角$(1,1)$到右下角$(i,j)$所包围矩形元素的和。

如何构造$b$数组呢？

我们去逆向思考。

同一维差分，我们构造二维差分数组目的是为了 让原二维数组$a$中所选中子矩阵中的每一个元素加上$c$的操作，可以由$O(n\ast n)$的时间复杂度优化成$O(1)$

已知原数组$a$中被选中的子矩阵为 以$(x1,y1)$为左上角，以$(x2,y2)$为右下角所围成的矩形区域;

始终要记得，$a$数组是$b$数组的前缀和数组，比如对$b$数组的$b[i][j]$的修改，会影响到$a$数组中从$a[i][j]$及往后的每一个数。

假定我们已经构造好了$b$数组，类比一维差分，我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上$c$

b[x1][y1] += c;

b[x1,][y2+1] -= c;

b[x2+1][y1] -= c;

b[x2+1][y2+1] += c;

每次对b数组执行以上操作，等价于：

for(int i=x1;i<=x2;i++)
  for(int j=y1;j<=y2;j++)
    a[i][j]+=c;

我们画个图去理解一下这个过程：

b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

我们将上述操作封装成一个插入函数:

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{     //对b数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让b数组以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j]，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组.

 for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
          insert(i,j,i,j,a[i][j]);    //构建差分数组
      }
  }

总结

3.代码实现

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int N = 1010;
    static int[][] a = new int[N][N], b = new int[N][N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt(), q = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                a[i][j] = sc.nextInt();

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                insert(i, j, i, j, a[i][j]);

        while (q-- > 0) {
            int x1 = sc.nextInt(), y1 = sc.nextInt(), x2 = sc.nextInt(), y2 = sc.nextInt(), c = sc.nextInt();
            insert(x1, y1, x2, y2, c);
        }
        //二维前缀和
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1];
            }
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                System.out.print(b[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    private static void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
        b[x1][y1] += c;
        b[x2 + 1][y1] -= c;
        b[x1][y2 + 1] -= c;
        b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
    }
}