递归之整数划分问题

一、问题描述

将正整数n表示成一系列正整数之和：
n=n1+n2+...+nk;(其中n1>=n2>=...>=nk)
如6：共有11种
6=6；
6=5+1；
6=4+2； 6=4+1+1；
6=3+3； 6=3+2+1； 6=3+1+1+1；
6=2+2+2； 6=2+2+1+1； 6=2+1+1+1+1；
6=1+1+1+1+1+1；

如5：共有7种

5=5；

5=4+1；

5=3+2；         5=3+1+1；

5=2+2+1；     5=2+1+1+1；

5=1+1+1+1+1；

 

二、问题分析

从整数划分的例子中，可以采用递归的思想去解决。如整数6，它的第一步是从6-1；第二步则是从第一步的差以及小于第一步的数开始，依次类推，直至这些整数之和为6.

如6=5+1;第一步是5，第一步的差是6-5=1，所以第二步从第一步5和第一步的差1两者较小数1开始递减；

6=1+1+1+1+1+1，第一步是1，第一步的差是6-1=5，所以第二步从第一步1和第一步的差5两者较小数1开始递减，这样后面只能是1，这样才能保证划分的规律性。

 

三、程序设计

#include<iostream>

using namespace std;

 

int num=0; //记录划分的类别数

void int_part(int n,int j)                            //n记录整数的剩余数，j记录上一步的数，确保是按照递减的数累加
{
        if(n==0)                                          //如果刚好分配完，则数目加1
       {
           num++;
           return;
       }

       for(int i=n<j?n:j;i>0;i--)                     //i取两者之间的小值，利用条件表达式
             int_part(n-i,i);

}

void main()
{
      int n;

      cout<<"请输入一个正整数：";
      cin>>n;

      int_part(n,n);                                      //整数划分函数，初始都设为n

      cout<<"划分的数目是："<<num<<endl;

      while(1);
}

 

四、程序结果