⭐算法入门⭐《前缀和》中等03 —— LeetCode 1248. 统计「优美子数组」

一、题目

1、题目描述

  给你一个整数数组 $nums$ 和一个整数 $k$。如果某个连续子数组中恰好有 $k$ 个奇数数字，我们就认为这个子数组是「优美子数组」。请返回这个数组中「优美子数组」的数目。
  样例输入： nums = [1,1,2,1,1], k = 3
  样例输出： 2

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

int numberOfSubarrays(int* nums, int numsSize, int k) {
}

3、原题链接

LeetCode 1248. 统计「优美子数组」

二、解题报告

1、思路分析

  首先，用 $sum$ 统计奇数个数。
  然后，假设某个子数组为 $nums[x:i]$，两种情况：
    1）如果 $x=0$ 时， $sum[i]==k$，则 $[0,i]$ 为一种方案，计数器 加一；
    2）如果 $0<x\le i$ 时， 就是看有多少个 $x$ 满足 $$sum[i]-sum[x-1]==k$$于是，就是要找到 满足 $sum[x-1]==sum[i]-k$ 的最小的 $x$ 和 最大的 $x$，相减+1 就是答案了。

2、时间复杂度

• 前缀和初始化，只需要一次遍历，时间复杂度为 $O(n)$。
• 统计过程，需要先枚举 $i$ 作为右端点，左端点通过二分得到一个区间，时间复杂度 $O(nlo{g}_{2}n)$。

3、代码详解

1、辅助函数 minIndex

• 首先，我们实现一个辅助函数，它的作用是在一个可重复数组中，找到一个数 $v$ ，且下标最小，如果找不到，返回 $-1$；实现方法就是二分。

int minIndex(int *sum, int l, int r, int v) {
    int mid, ans = -1;
    while(l <= r) {
        mid = (l + r) >> 1;
        if( v <= sum[mid-1] ) {
            r = mid - 1;                  // (1)
            ans = mid;                    // (2)
        }else {
            l = mid + 1;                  // (3)
        }
    }
    if(ans != -1 && sum[ans-1] != v) {
        ans = -1;                         // (4)
    }
    return ans;                           // (5)
}

• $(1)$ 当满足v <= sum[mid-1]，满足条件的下标一定在区间 $[l,mid]$，并且 $mid$ 这个位置是一个可行解（最优解待定），所以将右区间缩小为 $mid-1$；
• $(2)$ 记录下可行解 $mid$ 到 $ans$ 中；
• $(3)$ 否则，v > sum[mid-1]，满足条件的下标一定在区间 $[mid+1,r]$，将左区间缩小为 $mid+1$；
• $(4)$ 目前找到的位置只是一个v <= sum[ans-1]的位置，所以当v != sum[ans-1]时，实际上这个位置是无效的，所以需要变回 $-1$；
• $(5)$ 这时候的 $ans$ 为全局最优解，直接返回即可。

2、辅助函数 maxIndex

• 然后，我们依样画葫芦，再实现一个辅助函数，它的作用是在一个可重复数组中，找到一个数 $v$ ，且下标最大，如果找不到，返回 $-1$；实现方法也是二分。

int maxIndex(int *sum, int l, int r, int v) {
    int mid, ans = -1;
    while(l <= r) {
        mid = (l + r) >> 1;
        if( v >= sum[mid-1] ) {
            l = mid + 1;                  // (1)
            ans = mid;                    // (2)
        }else {
            r = mid - 1;                  // (3)
        }
    }
    if(ans != -1 && sum[ans-1] != v) {
        ans = -1;                         // (4)
    }
    return ans;                           // (5)
}

• $(1)$ 当满足v >= sum[mid-1]，满足条件的下标一定在区间 $[mid,r]$，并且 $mid$ 这个位置是一个可行解（最优解待定），所以将左区间缩小为 $mid+1$；
• $(2)$ 记录下可行解 $mid$ 到 $ans$ 中；
• $(3)$ 否则，v < sum[mid-1]，满足条件的下标一定在区间 $[l,mid-1]$，将右区间缩小为 $mid-1$；
• $(4)$ 目前找到的位置只是一个v >= sum[ans-1]的位置，所以当v != sum[ans-1]时，实际上这个位置是无效的，所以需要变回 $-1$；
• $(5)$ 这时候的 $ans$ 为全局最优解，直接返回即可。

3、前缀和 + 线性枚举 + 二分统计求解

int numberOfSubarrays(int* nums, int numsSize, int k) {
    int i, ans;
    int l, r, mid;

    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        sum[i] = (nums[i]&1) ? 1 : 0;                // (1) 
        if(i) {
            sum[i] += sum[i-1];                      // (2) 
        }   
    }
    ans = 0;
    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        if(sum[i] == k) {                            // (3) 
            ++ans;
        }
        l = minIndex(sum, 1, i, sum[i]-k);           // (4) 
        r = maxIndex(sum, 1, i, sum[i]-k);           // (5) 

        if(l != -1) {
            ans += r - l + 1;                        // (6) 
        }
    }

    return ans;
}

• $(1)$ x & 1为 $1$ 代表是奇数，否则是偶数；
• $(2)$ 计算前缀有多少个奇数；
• $(3)$ nums[0:i]这一段有 $k$ 个奇数的情况需要统计进去；
• $(4)$ 在开区间 $(0,i)$ 中找到sum[x-1]等于sum[i]-k的最小 $x$；
• $(5)$ 在开区间 $(0,i)$ 中找到sum[x-1]等于sum[i]-k的最大 $x$；
• $(6)$ 最大$x$ 减去 最小$x$ 再加一，就是可行的 $x$ 的个数；

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三、本题小知识

这一章，我们学会了寻找某个 重复有序数组 中的一个数字的 最小下标 和 最大下标。

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