2024美赛MCM Problem A: Resource Availability and Sex Ratios资源可用性和性别比例 完整代码以及思路分享
虽然一些动物物种存在于通常的雄性或雌性性别之外，但大多数物种实质上是雄性或雌性。虽然许多物种在出生时的性别比例为1：1，但其他物种的性别比例并不均匀。这被称为适应性性别比例的变化。例如，美洲短吻鳄孵化卵的巢穴的温度会影响其出生时的
性别比例。
七鳃鳗的作用是复杂的。在一些湖泊栖息地，它们被视为对生态系统有重大影响的寄生虫，而七鳃鳗在世界的一些地区也是食物来源，如斯堪的纳维亚，波罗的海，以及太平洋西北部的一些土著民族的北美。海洋七鳃鳗的性别比例可能因外部环境而异。海七鳃鳗变成雄性或雌性取决于它们在幼虫阶段的生长速度。这些幼虫的生长速度受到食物供应的影响。在食物供应率较低的环境中，增长率将会较低，雄性的比例可达到约占人口的78%。在食物更容易获得的环境中
，男性的比例约占人口的56%。我们关注的问题是性别比例及其对当地条件的依赖性，特别是对海洋七鳃鳗。海七鳃鳗生活在湖泊或海洋的栖息地，并迁移到河流上产卵。其任务是检查一个物种根据资源可用性而改变其性别比例的能力的优缺点。您的团队应该开发并检查一个模型，以深入了解生态系统中由此产生的相互作用。（While some animal species exist outside of the usual male or female sexes, most species are substantially either male or female. Although many species exhibit a 1:1 sex ratio at birth, other species deviate from an even sex ratio. This is called adaptive sex ratio variation. For example, the temperature of the nest incubating eggs of the American alligator influences the sex ratios at birth. The role of lampreys is complex. In some lake habitats, they are seen as parasites with a significant impact on the ecosystem, whereas lampreys arealso a food source in some regions of the world, such as Scandinavia, the Baltics, and for some Indigenous peoples of the Pacific Northwest in North America. The sex ratio of sea lampreys can vary based on external circumstances. Sea lampreys become male or female depending on how quickly they grow during the larval stage. These larval growth rates are influenced by the availability of food. In environments where food availability is low, growth rates will be lower, and the percentage of males can reach approximately 78% of the population. In environments where food is more readily available, the percentage of males has been observed to be approximately 56% of the population. We focus on the question of sex ratios and their dependence on local conditions, specifically for
sea lampreys. Sea lampreys live in lake or sea habitats and migrate up rivers to spawn. The task is to examine the advantages and disadvantages of the ability for a species to alter its sex ratio depending on resource availability. Your team should develop and examine a model to provide insights into the resulting interactions in an ecosystem.）
问题一：当七鳃鳗的数量可以改变其性别比例时，对更大的生态系统有什么影响？What is the impact on the larger ecological system when the population of lampreys can alter its sex ratio?完整内容见文末附件
针对问题一，关于海洋七鳃鳗（海鳗）种群能够根据资源可用性改变性别比例对更大生态系统的影响，我们可以通过以下步骤来构建数学模型：
1. 确定模型目标
分析性别比例变化对海鳗种群结构的影响。
评估这种变化对海鳗所在生态系统中其他物种的影响，包括竞争物种、猎物和捕食者。
- 构建模型
A. 海鳗种群模型
我们可以使用差分或微分方程来模拟海鳗种群的动态变化，考虑性别比例的变化对种群增长的影响。例如：
性别比例的动态变化可以通过：
表示，其中s(t) 根据环境条件（如食物供应）变化。
B. 生态系统互作模型
为了考虑海鳗变化的性别比例对生态系统的影响，我们需要构建一个包括关键物种（猎物、捕食者等）的多物种模型。这可以通过食物网模型来实现，使用Lotka-Volterra方程或其变体来描述物种间的相互作用。
对于猎物（Prey）数量 X 和捕食者（Predator）数量 Y，方程如下：
问题二：七鳃鳗种群的优点和缺点是什么？What are the advantages and disadvantages to the population of lampreys?（完整内容见文末附件）
针对问题二，我们可以从生物学和生态学的角度来考虑海鳗（海洋七鳃鳗）种群能够改变其性别比例的优势和劣势：
优势
资源适应性：当食物资源不足时，能够生产更多的雄性可能减少了对食物资源的总体需求，因为通常雄性在生殖过程中所需的能量较少。
种群数量控制：在食物充足时，通过增加雌性比例，种群能够更有效地繁殖，增加种群数量，这在资源丰富的环境中是有益的。
环境压力下的生存机制：性别比例的可变性可能是一种遗传上的优化，使得在不同的环境压力下种群能够持续生存。
增加遗传多样性：改变性别比例可以在不同条件下为种群提供更多的繁殖机会，从而增加遗传多样性。
劣势
种群结构失衡：长期的性别比例失衡可能导致繁殖能力降低，特别是当环境条件再次变得有利于繁殖时，雌性数量可能不足以支持种群增长。
生态系统影响：性别比例的变化可能会对捕食者和猎物的动态产生连锁反应，影响整个生态系统的平衡。
自然选择的限制：如果性别比例的变化主要受环境条件控制，而不是遗传多样性，这可能限制了自然选择作用于性别特征的能力。
对环境变化的敏感性：种群对环境条件的依赖可能会在资源短缺或环境快速变化时导致种群急剧减少。
在数学模型中，这些优势和劣势可以通过引入额外的参数和关系来模拟，例如将性别比例与生殖率和死亡率关联起来。
生殖率（Birth Rate）：生殖率受性别比例的影响，通常情况下，需要一定比例的雌雄个体才能维持有效的生殖。如果雌性数量太少，即使雄性多，生殖事件也会减少。
死亡率（Death Rate）：在资源不足的情况下，死亡率可能会上升，特别是如果性别比例偏向于消耗资源更多的性别（例如，如果雌性需要更多资源来繁殖）。
种群增长（Population Growth）：种群的总增长将考虑生殖率和死亡率，以及性别比例的影响。
问题三：鉴于七鳃鳗性别比例的变化，对生态系统的稳定性有什么影响？（What is the impact on the stability of the ecosystem given the changes in the sex ratios of lampreys?）完整内容见文末附件
问题三要求我们考察海鳗性别比例变化对生态系统稳定性的影响。要解决这个问题，我们需要构建一个生态系统模型，这个模型应该考虑到海鳗与其他物种之间的相互作用，以及这些相互作用如何随着海鳗性别比例的变化而变化。以下是解决此问题的具体步骤和概念框架：
1. 理解生态系统组成
确定关键物种：除了海鳗外，确定生态系统中的其他关键物种（例如猎物、捕食者、竞争者）。
理解食物链关系：明确海鳗在食物链中的位置，以及性别比例变化如何影响其作为捕食者或猎物的角色。
2. 定义影响因子
性别比例与资源可用性：设定一个函数来描述海鳗性别比例如何随资源可用性变化（s=f(food supply)）。
生态系统服务：定义海鳗为生态系统提供的服务（如控制猎物种群大小）以及它们如何受到性别比例的影响。
3. 构建数学模型,完整见文末附件：
问题四：
一个在七鳃鳗种群中性别比例不同的生态系统是否能为生态系统中的其他物种提供优势，比如寄生虫？（Can an ecosystem with variable sex ratios in the lamprey population offer advantages to others in the ecosystem, such as parasites?）完整内容见文末附件：
问题四探讨了海鳗种群中性别比例的可变性是否能为生态系统中的其他组分（如寄生虫）提供优势。要解决这个问题，我们需要扩展生态系统模型来包括寄生虫作为一个新的组分，并分析其与海鳗种群之间的相互作用
