幻方称数独,又名方阵,也叫纵横图,最早起源于我国。幻方是中国古老的智力游戏之一,它需将数字安排在正方形格子中,使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
《射雕英雄传》黄蓉被铁砂掌打伤后,郭靖带着她找人疗伤,遇见了为闯桃花岛救周伯通而苦心求算的瑛姑。黄蓉很轻松破了桃花阵进到瑛姑的房间,看见瑛姑正在苦算。瑛姑给黄蓉抛出一个问题:将一至九这九个数字排成三列,不论纵横斜角,每三字相加都是十五,如何排?
黄蓉诵道:“九宫之义,法以灵龟,戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,五居中央。”
黄蓉笑道:“不但九宫,即使四四图,五五图,以至百子图,亦不足为奇。
黄蓉帮瑛姑解开的就是一个三阶幻方。
六六幻方就是有6×6共36个格子,每个格子中填上数字,1到36,它的横行、竖列以及对角线上面的数字之和都相等,都是111。
目前,全国发现的六六幻方都为出土的元代文物,仅有两种材质,一种是元中都遗址出土的青石质的六六幻方;另一种是铁质的,出土于陕西西安的元朝安西王府遗址。
元朝地舆学、数学居当时的国际先进位置。继承了两宋时期的数学,还引进了外来先进数学常识,使我国的数学研究在元朝有了质的腾跃。
元中都青石质的六六幻方
1307年,元武宗海山在张北县始建元中都,与上都(内蒙古正蓝旗)、大都(北京)并称元朝三大都城。据史料记载,1307年,刚即位10天的元武宗海山宣布兴建中都,由于劳民伤财,民怨沸天、朝谏不断。1311年,实际在位不足4年的武宗辞世,年仅31岁。武宗的弟弟仁宗即位,敕令停建,中都至此冷落。1358年,元中都宫室被红巾军烧毁。
上世纪80年代,考古人员开始对元中都进行勘察和论证,元中都的六六幻方,被发现时是在宫城的前殿中轴线后三分之一处的地砖下发现的,考古工作人员推测这件幻方的上面极有可能是安放皇帝龙椅的位置。
这是一块12×12×2厘米的青石板,�上面纵横各6格,共36格,幻方每格内有一组八思巴文数字,纵横对角线每行6组数字的总和为111。
安西王府铁质六六幻方
至元九年(公元1272年),元世祖忽必烈为保证西北方安定,特意敕封皇子忙哥刺为安西王,忙哥刺来到此地后,奉旨修建了富丽的安西王府。但很可惜,在公元1306年,安西王府在一场地震中被夷为平地。1957年的一天,考古人员在陕西省西安市火车站附近的元代安西王府遗址中,发现了一块边长14厘米、厚1.5厘米、正面铸有36个奇怪符号的幻方铁板,就是铁质的六六幻方。幻方铁板是我国数学上最早应用阿拉伯数字的实物,也是13世纪中西文化交流的重要物证。
幻方在古代被视为奇妙的神秘之物,古人认为,奇妙的幻方蕴含着宇宙的法则,将它当做风水镇宅神物,可以辟邪防灾。
上海浦东四阶玉幻方
除了这两种材质的六六幻方,在上世纪六十年代末,在上海浦东地区还发现了一块元朝时期的四阶玉幻方,可系绳佩戴,随身辟邪。
有方框四行十六格,每格内填有一个阿拉伯数码字,数字形体是十三世纪的阿拉伯文,隶定为现代通用的数码字。它为四四纵横图,这里使用的数目,从1到16,一共十六个数目。它们分作四行排列,纵栏、横行和对角线,各四个数目,相加之和均为34。
河图与洛书最早的组合数学
我国对幻方的研究可以追溯更早时期,《河图》与《洛书》是中国古代流传下来的两幅神秘图案,《大戴礼记》记载,有象征吉祥的河图洛书纵横图,被认为是现代‘组合数学’最古老的发现。
相传上古伏羲氏时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」。又相传大禹时,洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」。上面的图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字都是一样的,这就是我们所称的幻方。大禹依此治水成功,遂划天下为九州。又依此定九章大法,治理社会。
南宋数学家杨辉著有《续古摘奇算法》,书中对河图和洛书进行了详尽的研究,称之为纵横图,他从对3阶幻方的排列中找出了一种奇妙的规律:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出,戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足”。
如今,幻方仍然是组合数学的研究课题之一,在科学技术领域中有广泛的应用,如在程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等学中,都用到幻方理论。