西瓜书学习笔记——低维嵌入（公式推导+举例应用）
文章目录
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- 算法介绍
- 实验分析
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算法介绍
低维嵌入（Low-Dimensional Embedding）是一种降低高维数据维度的技术，目的是在保留数据特征的同时减少数据的复杂性。这种技术常用于可视化、特征学习、以及数据压缩等领域。低维嵌入的目标是将高维数据映射到一个低维空间，以便更好地理解和可视化数据。
在 k k k近邻学习中，随着数据维度的增加，样本之间的距离变得更加稀疏，导致KNN算法性能下降。这是因为在高维空间中，样本之间的距离变得很难定义和度量，使得KNN算法的效果变差。
通过低维嵌入技术，可以将高维数据映射到一个更低维的子空间中。这样可以在新的低维表示中更好地保留数据的结构和关系，从而提高KNN算法在原始空间中的性能。
低维嵌入示意图如下所示：
我们假定 m m m个样本在原始空间的距离矩阵为 D ∈ R m × m D\in \mathbb{R}^{m\times m} D∈Rm×m，其中第 i i i行 j j j列的元素 d i s t i j dist_{ij} distij为样本 x i x_i xi到样本 x j x_j xj的距离。我们的目标是获得样本在 d ′ d^\prime d′维空间的表示 Z ∈ R d ′ × m Z\in \mathbb{R}^{d^\prime \times m} Z∈Rd′×m， d ′ ≤ d d^\prime \leq d d′≤d，且任意两个样本在 d ′ d^\prime d′维空间中的欧式距离等于原始空间中的距离，即 ∣ ∣ z i − z j ∣ ∣ = d i s t i j ||z_i-z_j||=dist_{ij} ∣∣zi−zj∣∣=distij。
令 B = Z T Z ∈ R m × m B=Z^TZ\in \mathbb{R}^{m\times m} B=ZTZ∈Rm×m，其中 B B B是降维后样本的内积矩阵， b i j = z i T z j b_{ij}=z_i^Tz_j bij=ziTzj，有：
d i s t i j 2 = ∣ ∣ z i ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ z j ∣ ∣ 2 − 2 z i T z j = b i i + b j j − 2 b i j (3) \begin{aligned} dist_{ij}^2&=||z_i||^2+||z_j||^2-2z_i^Tz_j\\ &=b_{ii}+b_{jj}-2b_{ij} \end{aligned} \tag{3} distij2=∣∣zi∣∣2+∣∣zj∣∣2−2ziTzj=bii+bjj−2bij(3)
为了方便讨论，我们令降维后的样本 Z Z Z被中心化过，即 ∑ i = 1 m z i = 0 \sum_{i=1}^mz_i=0 ∑i=1mzi=0，显然矩阵 B B B的行和列的和都为零，即 ∑ i = 1 m b i j = ∑ j = 1 m b i j = 0 \sum_{i=1}^mb_{ij}=\sum_{j=1}^mb_{ij}=0 ∑i=1mbij=∑j=1mbij=0，故可知：
∑ i = 1 m d i s t i j 2 = ∑ i = 1 m b i i + ∑ i = 1 m b j j − 2 ∑ i = 1 m b i j = t r ( B ) + m b j j (4) \begin{aligned} \sum_{i=1}^mdist_{ij}^2&=\sum_{i=1}^mb_{ii}+\sum_{i=1}^mb_{jj}-2\sum_{i=1}^mb_{ij}\\ &=tr(B)+mb_{jj} \end{aligned} \tag{4} i=1∑mdistij2=i=1∑mbii+i=1∑mbjj−2i=1∑mbij=tr(B)+mbjj(4)
∑ j = 1 m d i s t i j 2 = ∑ j = 1 m b i i + ∑ j = 1 m b j j − 2 ∑ j = 1 m b i j = m b i i + t r ( B ) (5) \begin{aligned} \sum_{j=1}^mdist_{ij}^2&=\sum_{j=1}^mb_{ii}+\sum_{j=1}^mb_{jj}-2\sum_{j=1}^mb_{ij}\\ &=mb_{ii}+tr(B) \end{aligned} \tag{5} j=1∑mdistij2=j=1∑mbii+j=1∑mbjj−2j=1∑mbij=mbii+tr(B)(5)
∑ i = 1 m ∑ j = 1 m d i s t i j 2 = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m b i i + ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m b j j − 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m b i j = 2 m ⋅ t r ( B ) (6) \begin{aligned} \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mdist_{ij}^2&=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mb_{ii}+\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mb_{jj}-2\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mb_{ij}\\ &=2m\cdot tr(B) \end{aligned} \tag{6} i=1∑mj=1∑mdistij2=i=1∑mj=1∑mbii+i=1∑mj=1∑mbjj−2i=1∑mj=1∑mbij=2m⋅tr(B)(6)
其中 t r ( B ) = ∑ i = 1 m b i i = ∑ i = 1 m z i T z i = ∑ i = 1 m ∣ ∣ z i ∣ ∣ 2 tr(B)=\sum_{i=1}^m b_{ii}=\sum_{i=1}^m z_i^Tz_i=\sum_{i=1}^m||z_i||^2 tr(B)=∑i=1mbii=∑i=1mziTzi=∑i=1m∣∣zi∣∣2，令：
d i s t i ⋅ 2 = 1 m ∑ j = 1 m d i s t i j 2 (7) dist_{i\cdot}^2=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^mdist_{ij}^2 \tag{7} disti⋅2=m1j=1∑mdistij2(7)
d i s t ⋅ j 2 = 1 m ∑ i = 1 m d i s t i j 2 (8) dist_{\cdot j}^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mdist_{ij}^2 \tag{8} dist⋅j2=m1i=1∑mdistij2(8)
d i s t ⋅ ⋅ 2 = 1 m 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m d i s t i j 2 (9) dist_{\cdot \cdot}^2=\frac{1}{m^2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mdist_{ij}^2 \tag{9} dist⋅⋅2=m21i=1∑mj=1∑mdistij2(9)
- d i s t i ⋅ 2 dist_{i\cdot}^2 disti⋅2表示样本 i i i到所有其他样本的平均距离平方。这个值反映了样本 i i i 与其他样本的整体相似性。
- d i s t ⋅ j 2 dist_{\cdot j}^2 dist⋅j2表示所有样本到样本 j j j 的平均距离平方。这个值反映了所有样本到某个特定样本 j j j 的整体相似性。
- d i s t ⋅ ⋅ 2 dist_{\cdot \cdot}^2 dist⋅⋅2表示所有样本之间的平均距离平方。这个值反映了整个样本集合的相似性。
由式（3）可知：
b i j = − 1 2 ( d i s t i j 2 − b i i − b j j ) (10) b_{ij}=-\frac{1}{2}(dist_{ij}^2-b_{ii}-b_{jj}) \tag{10} bij=−21(distij2−bii−bjj)(10)
将式（6）带入式（9）中可知：
d i s t ⋅ ⋅ 2 = 1 m 2 ⋅ 2 m ⋅ t r ( B ) = 2 m ⋅ t r ( B ) (11) \begin{aligned} dist_{\cdot \cdot}^2&=\frac{1}{m^2}\cdot 2m\cdot tr(B)\\ &=\frac{2}{m}\cdot tr(B) \end{aligned} \tag{11} dist⋅⋅2=m21⋅2m⋅tr(B)=m2⋅tr(B)(11)
故有：
t r ( B ) = m 2 d i s t ⋅ ⋅ 2 (12) tr(B)=\frac{m}{2}dist_{\cdot \cdot}^2\tag{12} tr(B)=2mdist⋅⋅2(12)
将式（4）带入式（8）中有：
d i s t ⋅ j 2 = 1 m ( t r ( B ) + m b j j ) (13) \begin{aligned} dist_{\cdot j}^2&=\frac{1}{m}(tr(B)+mb_{jj}) \end{aligned} \tag{13} dist⋅j2=m1(tr(B)+mbjj)(13)
将式（12）带入式（13）中有：
d i s t ⋅ j 2 = 1 m ( t r ( B ) + m b j j ) = 1 m ( m 2 d i s t ⋅ ⋅ 2 + m b j j ) = 1 2 d i s t ⋅ ⋅ 2 + b j j (14) \begin{aligned} dist_{\cdot j}^2&=\frac{1}{m}(tr(B)+mb_{jj})\\ &=\frac{1}{m}(\frac{m}{2}dist_{\cdot \cdot}^2+mb_{jj})\\ &=\frac{1}{2}dist_{\cdot \cdot}^2+b_{jj} \end{aligned} \tag{14} dist⋅j2=m1(tr(B)+mbjj)=m1(2mdist⋅⋅2+mbjj)=21dist⋅⋅2+bjj(14)
故有：
b j j = d i s t ⋅ j 2 − 1 2 d i s t ⋅ ⋅ 2 (15) b_{jj}=dist_{\cdot j}^2-\frac{1}{2}dist_{\cdot \cdot}^2 \tag{15} bjj=dist⋅j2−21dist⋅⋅2(15)
将式（5）带入式（7）中有：
d i s t i ⋅ 2 = 1 m ( m b i i + t r ( B ) ) (16) \begin{aligned} dist_{i\cdot}^2&=\frac{1}{m}(mb_{ii}+tr(B))\\ \end{aligned} \tag{16} disti⋅2=m1(mbii+tr(B))(16)
将式（12）带入式（16）中有：
d i s t i ⋅ 2 = 1 m ( m b i i + t r ( B ) ) = 1 m ( m b i i + m 2 d i s t ⋅ ⋅ 2 ) = b i i + 1 2 d i s t ⋅ ⋅ 2 (17) \begin{aligned} dist_{i\cdot}^2&=\frac{1}{m}(mb_{ii}+tr(B))\\ &=\frac{1}{m}(mb_{ii}+\frac{m}{2}dist_{\cdot \cdot}^2)\\ &=b_{ii}+\frac{1}{2}dist_{\cdot \cdot}^2 \end{aligned} \tag{17} disti⋅2=m1(mbii+tr(B))=m1(mbii+2mdist⋅⋅2)=bii+21dist⋅⋅2(17)
故有：
b i i = d i s t i ⋅ 2 − 1 2 d i s t ⋅ ⋅ 2 (18) b_{ii}=dist_{i\cdot}^2-\frac{1}{2}dist_{\cdot \cdot}^2 \tag{18} bii=disti⋅2−21dist⋅⋅2(18)
最后将式（15）和式（18）带入式（10）可得：
b i j = − 1 2 ( d i s t i j 2 − d i s t i ⋅ 2 − d i s t ⋅ j 2 + d i s t ⋅ ⋅ 2 ) (19) b_{ij}=-\frac{1}{2}(dist_{ij}^2-dist_{i\cdot}^2-dist_{\cdot j}^2+dist_{\cdot \cdot}^2) \tag{19} bij=−21(distij2−disti⋅2−dist⋅j2+dist⋅⋅2)(19)
故此时就可通过降维前后不变的距离矩阵 D D D来求取内积矩阵 B B B。
最后我们通过对矩阵 B B B进行特征值分解，即 B = V Λ V T B=V\Lambda V^T B=VΛVT，其中 Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ d ) \Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_d) Λ=diag(λ1,λ2,...,λd)为特征值所构成的对角矩阵，且 λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . ≥ λ d \lambda_1\geq\lambda_2\geq...\geq\lambda_d λ1≥λ2≥...≥λd， V V V是特征向量。
故我们假定 B B B有 d ⋆ d^\star d⋆个非零特征值，它们所构成的对角矩阵 Λ ⋆ = diag ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ d ⋆ ) \Lambda_{\star}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{d^\star}) Λ⋆=diag(λ1,λ2,...,λd⋆)，其中 V ⋆ V_\star V⋆是特征向量。且 B = Z T Z = V ⋆ Λ ⋆ V ⋆ T B=Z^TZ=V_\star\Lambda_\star V_\star^T B=ZTZ=V⋆Λ⋆V⋆T，则 Z Z Z可表达为：
Z = Λ ⋆ 1 / 2 V ⋆ T ∈ R d ⋆ × m (20) Z=\Lambda_\star^{1/2}V_\star^T \in \mathbb{R}^{d^\star \times m} \tag{20} Z=Λ⋆1/2V⋆T∈Rd⋆×m(20)
其算法流程图如下所示：
实验分析
数据集如下图所示：
读入数据集：
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置中文显示
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 读取数据集
data = pd.read_csv('data/correlated_dataset.csv')
计算距离矩阵函数：
def calculate_distance_matrix(data):
# 计算距离矩阵
num_samples = len(data)
distances = np.zeros((num_samples, num_samples))
for i in range(num_samples):
for j in range(num_samples):
distances[i, j] = np.linalg.norm(data[i] - data[j])
return distances
MDS算法：
def calculate_mds_diagonal_matrix(distances, d_star):
m = len(distances)
# 计算降维前后不变的距离平方
dist_i_dot_sq = np.mean(distances**2, axis=1)
dist_dot_j_sq = np.mean(distances**2, axis=0)
dist_dot_dot_sq = np.mean(distances**2)
# 计算内积矩阵B
B = -0.5 * (distances**2 - dist_i_dot_sq.reshape(-1, 1) - dist_dot_j_sq + dist_dot_dot_sq)
# 对B进行特征值分解
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(B)
# 选择非零特征值对应的特征向量
nonzero_eigenvalues = eigenvalues[eigenvalues > 1e-10]
nonzero_eigenvectors = eigenvectors[:, eigenvalues > 1e-10]
# 取前d_star个非零特征值对应的特征向量
top_indices = np.argsort(nonzero_eigenvalues)[::-1][:d_star]
selected_eigenvectors = nonzero_eigenvectors[:, top_indices]
# 计算对角矩阵
diagonal_matrix = np.diag(nonzero_eigenvalues[top_indices])
return diagonal_matrix
定义画图函数：
def plot_diagonal_matrix(diagonal_matrix):
plt.imshow(diagonal_matrix, cmap='viridis')
# 在主对角线上显示数值
for i in range(diagonal_matrix.shape[0]):
plt.text(i, i, f'{diagonal_matrix[i, i]:.2f}', color='red', ha='center', va='center')
plt.colorbar(label='特征值')
plt.title('特征值构成的对角矩阵')
plt.show()
执行MDS算法：
# 提取特征列
features = data.iloc[:, :-1].values
# 计算距离矩阵
distances = calculate_distance_matrix(features)
# 设定降维后的维度
d_star = 6
# 使用MDS算法计算特征值构成的对角矩阵
diagonal_matrix = calculate_mds_diagonal_matrix(distances, d_star)
# 绘制对角矩阵的可视化
plot_diagonal_matrix(diagonal_matrix)
