动态规划基础（一）引入

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数字三角形

题目大意

给定数字金字塔，每个单位有自己的权值，问从顶端出发，到底端任意一点的所有路径中，经过的权值总和最大的路径，输出权值总和的最大

思路

显然不能用用每步最优解决（手玩一下样例就知道）
我们从顶端到底边，当我们走到$a[x][y]$的时候 ，是走$a[x+1][y]$还是走$a[x+1][y+1]$取决于，从底边到这两点的两条最优路径哪一个大，所以我们需要用循环先把这两条最优路径迭代出来。
根据这个思路写出以下代码

#include

using namespace std;

using ll = long long;

int a[1005][1005];//金字塔
int dp[1005][1005];//记录路径值
int n;

int result(int x, int y) {
    if (x == n)return dp[x][y] = a[x][y];
    dp[x][y] = max(result(x + 1, y), result(x + 1, y + 1)) + a[x][y];
    return dp[x][y];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= i;j++)
            cin >> a[i][j];
    cout << result(1, 1);
    return 0;
}

但是仍然会$T$掉$3$个点，复杂度还是高
所以我们换一种思路
从下往上加，我们从倒数第二行开始向上，就不用考虑循环找最有路径了
所以当我们在每一个$a[x][y]$的时候，我们只需要让他加上$a[x+1][y]$和$a[x+1][y+1]$中较大的一个，更新权值就行了

ACcode

#include

using namespace std;

using ll = long long;

int a[1005][1005];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t;cin >> t;
    for (int i = 1;i <= t;i++) 
        for (int j = 1;j <= i;j++) 
            cin >> a[i][j];
    for (int i = t-1;i >= 1;i--) {
        for (int j = 1;j <= i;j++) {
            a[i][j] += max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]);
        }
    }
    cout << a[1][1];
    return 0;
}

具体有一些对于$dp$的特征的文字描述上$oiwiki$上看吧
oiwiki dp