立体几何之目：2014年文数A19：三棱柱与常见四面体

2014年文数全国卷A题19：三棱柱与常见四面体

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面

（I）证明∶ ;

（Ⅱ）若 ，求三棱柱 的高.

2014年文科数学全国卷A

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【解答第1问】

连接 .

∵ 为菱形，∴ ,

又∵ , ∴ .

∵ 平面 , ∴

∵ ,

∴ 面 , ∴ .

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【解答第2问】

三棱柱 的高，等于点 与面 的距离.

∵ 为菱形， , ∴

又∵ , ∴

∵ ,

∴ , ∴

∴

三棱柱 的高

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【提炼与提高】

本题中， 是一个常用四面体。它的特征是：有一个面是等边三角形，一个面是等腰直角三角形，有两个面是全等的等腰三角形。而且等边三角形与等腰直角三角形的所在平面相互垂直。

从解答过程可以看出，我们的大部分注意力都在四面体 上。而对 两个点没太在意。

在此分享一个学习经验：

四面体是立体几何的核心对象。把四面体玩熟，立体几何就通了。

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【相关考题】

本题中的 是一个常见四面体。最近十年的高考题中多次使用。典型实例如下：

2007年文数海南卷题18

2017年文数C19

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