算法基础-质数-约数

数论（英语：Number theory）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，被称为“最纯”的数学领域。

质数

质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。大于1的自然数若不是素数，则称之为合数（也称为合成数）。

题型一：判断某个正整数是否为质数

做法：

• 暴力循环 时间复杂度：O(n)

bool get_prime(int x)
{
  if (x < 2) return false;
  for (int i = 2; i < x; i++)
    if (x % i == 0) return false;
 	return true;
}

• 试除法 时间复杂度：O(sqrt(n))

bool get_prime(int x)
{
  if (x < 2) return false;
  for (int i = 2; i <= x / i; i++)
    if (x % i == 0) return false;
 	return true;
} 

这里要优化利用到了： 如果 x $ a == 0 ，那么 x / a = b ， x / b = a ，从而不用全部循环一遍。

有三种循环的方式：

for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) // sqrt(n) 比较慢

for (int i = 2; i * i <= n; i++) // i * i 有溢出风险

for (int i = 2; i <= n / i; i++) // 建议这种方式

题型二：将某个正整数分解为质因数

做法：

• 试除法

// 输出的 i 为质因子， s 为次数
void divide(int x)
{
  if (x < 2) return;
  
  for (int i = 2; i <= x / i; i++)
  {
    int s = 0;
    if (x % i == 0)
    {
      while (x % i == 0)
      {
        s ++;
        x /= i;
      }
      printf("%d %d\n", i, s);
    }
  }
  if (x > 1) printf("%d %d", x, 1);
  
  return;
}

题型三：在 1 ~ n 的范围中筛选质数

做法：

• 暴力筛法

// primes[] 存储质因子
// cnt 存储质因子的个数
// st[] 筛除不是质因子

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int x)
{
  for (int i = 2; i <= x; i++)
  {
    if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
    for (int j = i + i; j <= x; j += i) st[j] = true;
  }
}

• 埃式筛法

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int x)
{
  for (int i = 2; i <= x; i++)
  {
    if (!st[i])
    {
      primes[cnt++] = i;
      for (int j = i + i; j <= x; j += i) st[j] = true;
    }
  }
}

• 线性筛法 ： n 只会被最小质因子筛掉。

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int x)
{
  for (int i = 2; i <= x; i++)
  {
    if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
    for (int j = 0; primes[j] <= x / i; j++)
    {
      st[primes[j] * i] = true;
      if (i % primes[j] == 0) break;
    }
  }
}

约数

因数（英语：factor）也称 约数、因子、除子，是一个常见的数学名词，用于描述自然数 $a$ 和自然数 $b$ 之间存在的整除关系，即可 $b$ 以被 $a$ 整除。这里我们称 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的因数或因子。

题型一：求一个数的所有约数

做法：

• 暴力枚举

vector get_divisor(int x)
{
    vector res;
    for (int i = 1; i <= x; i++)
    {
        if (x % i == 0) res.push_back(i);
    }
    
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

• 试除法

vector get_divisor(int x)
{
    vector res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if (i != x / i) res.push_back(x / i);
        }
    }
    
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

题型二：求一个数中所有约数的个数

做法：

1. 先分解质因子。
2. 再对所有质因子的指数加一，再相乘。

题型三：求一个数中所有约数之和

做法：

1. 先分解质因子。如果 $N=p_0^a\ast p_1^b\ast p_2^c\ast p_3^d$
2. 再计算 $(p_0^0+p_0^1+\ast \ast \ast +p_0^a)\times \ast \ast \ast \times (p_3^0+p_3^1+\ast \ast \ast +p_3^d)$

注意：由于答案一般比较大，所以常常会取模。

题型四：求最大公约数（欧几里得算法 | 辗转相除法）

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}