【数据结构】二叉树

目录

树的概念

树的相关概念

树的表示

 二叉树的概念

二叉树的性质

特殊的二叉树

满二叉树

 完全二叉树

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树的概念

        树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树，是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

        注意：在树形结构种，子树之间不能有交集，否则便不是树形结构；

                   一棵树有N个结点，那么它便有N-1条边。

 树的相关概念

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6.

叶结点/终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点。

分支结点/非终端结点：除根结点外，度不为0的结点；如上图：D、E…等结点为分支结点。

父节点/双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父节点；如上图： A是B的父结点。

子结点/孩子结点：一个结点含有的子树的根节点称为该结点的子结点；如上图： B是A的子结点。

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图 ：B、C是兄弟结点。

树的度：一颗树中，最大的结点的度称为树的度。如上图：树的度为6。

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第二层，以此类推。

树的高度或深度：树中结点的最大层次，如上图：树的高度为4.

堂兄弟结点：双亲结点在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点。

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图:A是所有结点的祖先。

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙；如上图：所有结点都是A的子孙。

森林：由m(m>0)棵互不相交的树组成的集合称为森林。

树的表示

        树结构相对于线性表比较复杂，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存数据，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方法：如双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。其中最常用的是孩子兄弟表示法，也就是左孩子右兄弟，如下：

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

即每个结点存储它的第一个左节点，和右边的兄弟结点位置即可，如图所示： 

 二叉树的概念

        一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

                1.可以为空。---空树

                2.由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

         注意：

                1.二叉树不存在一个度大于2的结点，结点度的大小范围为【0~2】，至多只能为2度；

                2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

        对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

二叉树的性质

        1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的 第i层上最多有 2^(i-1)个结点.。

        2. 若规定根节点的层数为1，则 深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1 个 。

        3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为a, 度为2的分支结点个数为b,则有 a=b+1 。

        4. 若规定根节点的层数为1，具有 n个结点的满二叉树， 深度h=log(n+1) 。 --(log是以2为底)

        5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

•         若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；其中若 i=0，i为根节点编号，无双亲节点
•         若2i+1=n否则无左孩子
•         若2i+2=n否则无右孩子

综上，我们可以得出当已知父亲结点为i时，左孩子结点等于i*2+1,右孩子结点等于i*2+2;

当已知孩子结点（不分左右孩子）为k时，父亲节点=（孩子结点-1）/2.

特殊的二叉树

满二叉树

        一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值（除叶结点外，每个结点的度都为2），也就是说每个节点都要么没有子节点，要么有两个子节点，并且所有叶子节点都在同一层上，则这个二叉树就是满二叉树。

        因此满二叉树具有以下性质：

                1.如果一个二叉树的层数为k，则结点总数是2^k-1。

                2.如果一棵满二叉树的叶子节点数为m，则该树的总节点数为2m-1。

如上图所示，满二叉树的特点是除黄框所圈的叶结点外，其余结点的度皆为二。

完全二叉树

        完全二叉树是效率很高的数据结构，是由满二叉树而引出来的。

        完全二叉树满足以下两个条件：

                1. 对于深度为 k 的节点，如果其存在，那么该节点的左子树深度为 k+1，右子树深度为 k 或者 k+1。

                2. 对于所有深度不足 k+1 的节点，如果该节点有右子树但是没有左子树，则该节点必须是一个叶子节点。

也就是说，在一棵完全二叉树中，除了最后一层的节点可能不满之外，其它层的节点都必须是满的，而且最后一层的节点都集中在树的左侧，这就是完全二叉树的特点。

完全二叉树的叶子节点，从左向右必须连续的，而上图中叶子结点中间间断了因此不是一个完全二叉树。

如下图所示便是完全二叉树：