代码随想录算法训练营第四十四天 | 完全背包、完全背包的遍历顺序

完全背包 理论基础

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：带你学透完全背包问题！ 和 01背包有什么差别？遍历顺序上有什么讲究？_哔哩哔哩_bilibili

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

每件商品都有无限个！ 问背包能背的物品最大价值是多少？

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上。

01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了；

01背包中一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！ 因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值。

代码

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

总结

对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！ 但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

518.零钱兑换II

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划之完全背包，装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II_哔哩哔哩_bilibili

状态：不会做。完全背包两个for循环的顺序决定了结果是排列还是组合。这个参考01背包中“目标和”题目的解法，求的是总共有几种方法，而不是最大价值是多少 或 能否装满背包。

思路

本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

本题求的是组合数，不强调元素之间的顺序。排列强调元素之间的顺序。

动规五步曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式

   dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];（和494.目标和一样）

3. dp数组如何初始化

   dp[0] = 1

   下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

4. 确定遍历顺序

   纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序(排列)也行，没有顺序(组合)也行！

   本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

   两个for循环的顺序决定了凑冲总和的元素是否有顺序，即排列还是组合？

   1. 外层for遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）：dp[j]计算的是组合数

      for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
          for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
              dp[j] += dp[j - coins[i]];
          }
      }
      

      假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

      那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

   2. 外层for遍历背包（金钱总额），内层for物品（钱币）：dp[j]计算的是排列数

      for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
          for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
              if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
          }
      }
      

      背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

   关于组合和排列的问题

   • 先遍历物品后遍历背包是这样，比如，外层循环固定coins[1]，在内层循环遍历背包时，随着背包不断增加，coins[1]可以重复被添加进来，而由于外层循环固定了，因此coins[2]只能在下一次外层循环添加进不同大小的背包中，这么看的话，coins[2]只能在coins[1]之后了，即coins[i+1]只能在coins[i]之后了；

   • 先遍历背包后遍历物品，那么外层循环先固定背包大小j，然后在大小为j的背包中循环遍历添加物品，然后在下次外层循环背包大小变为j+1，此时仍要执行内层循环遍历添加物品，也就会出现在上一轮外层循环中添加coins[2]的基础上还能再添加coins[1]的情况，那么就有了coins[1]在coins[2]之后的情况了。

5. 举例推导dp数组

   输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：最后红色框dp[amount]为最终结果。

   

总结

先遍历物品是组合

先遍历背包是排列

求价值排列组合都一样

代码

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;

        for(int i = 0; i < coins.size(); i++){  // 遍历物品
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){    // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ

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视频讲解：动态规划之完全背包，装满背包有几种方法？求排列数？| LeetCode：377.组合总和IV_哔哩哔哩_bilibili

状态：能做出来。上一题是组合题，这一题是排列题。

思路

本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

2. 确定递推公式

   求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

3. dp数组如何初始化

   dp[0] = 1

   至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

4. 确定遍历顺序

   个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。

   得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。

   本题要求的是排列，所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5. 举例来推导dp数组

总结

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

代码

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        
        for(int j = 0; j <= target; j++){   // 遍历背包
            for(int i = 0; i < nums.size(); i++){   // 遍历物品
                // 测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]
                if(j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};