06 逆矩阵、列空间与零空间
直观理解这几个概念, 计算方法不作讨论, 如 "Gaussian elimination 高斯消元法" 和 "row echelon form 行阶梯型".
Let the computer do computing!
Usefulness of matrices 矩阵的用途
计算机图形学
机器人学
被广泛应用的一个主要原因就是它能 帮助我们求解特定的 system of equations 方程组
大部分情况, 方程组会很复杂, 但如果有一个特定的形式,
线性方程组
几何直观
即寻找一个向量 x , 使得它在变换后与 v 重合
这个方程的解依赖于矩阵 A 所代表的变换
是将空间挤压到一条线或一个点等低维空间
还是保持像初始状态一样的完整二维空间
也即 A 的行列式为零
和 A 的行列式不为零
-
A 的行列式≠0
此时空间并未被挤压为零面积区域
有且仅有一个向量 (在变换后) 与 v 重合
image并且你可以通过逆向进行变换来找到这个向量
Inverse transformation 逆变换
A 逆的核心性质在于 A 逆乘以 A 等于一个 "什么都不做" 的矩阵
什么都不做 即 identity transformation恒等变换
这样, 你就可以解方程
image只要变换 A 不将空间压缩到一个更低的维度上, 即 det(A)≠0
-
def(A) = 0
此时没有逆变换
你不能将一条线 "解压缩" 为一个平面, 至少这不是一个函数能做到的, 这样会要求将一个单独的向量变换为一整条线的向量
image但函数只能将一个输入变换为一个输出
但即使不存在逆变换, 解仍然可能存在
比如二维的情况, 向量 v 恰好处于变换后的这条直线上
image三维空间时, 当它将空间压缩为一条直线时, 与平面相比, 存在解的难度就更高了, 即使这两种情况行列式均为零
image
除了零行列式之外, 我们有特定的术语来描述它们
Rank 秩
"秩" 代表着 Number of dimensions in the output变换后空间的维数
比如, 2×2 矩阵, 它的秩最大为 2, 意味着基向量仍旧能张成二维空间, 并且行列式不为零
但是对于 3×3 矩阵, 秩为 2 意味着空间被压缩了, 但和秩为 1 的情况相比, 压缩的不是那么严重,
如果一个三维变换的行列式不为零, 变换结果仍旧充满整个三维空间, 它的秩为 3
不管是一条直线、一个平面还是三维空间等, 所有可能的变换结果 (即所有可能的输出向量 Av) 的集合, 被称为矩阵的 "column space 列空间"
所以更精确的秩的定义是列空间的维数,
当秩达到最大值时, 意味着秩与列数相等, 称之为 "Full rank 满秩"
注意, 零向量一定会被包含在列空间中, 因为线性变换必须保持原点位置不变
对一个满秩变换来说, 唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身,
但是对于一个非满秩的矩阵来说, 它将空间压缩到一个更低的维度上, 即会有一系列向量在变换后成为零向量
零空间
变换后落在原点的向量的集合, 被称为矩阵的 "null space 零空间" 或 "kernel 核"
对线性方程组来说, 当向量 v 恰好为零向量时, 零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解
小结
每个方程组都有一个线性变换与之联系
当逆变换存在时, 你就能用这个逆变换求解方程组
否则, 列空间的概念让我们清楚什么时候存在解
零空间的概念有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的
注意, 这里只是直观解释, 没有涉及计算, 并且把范围限制在方程数目与未知量数目相等的情况内