C++ 动态规划 区间DP 石子合并

设有 N
堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,…,N
。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N
堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4
堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2
堆，代价为 4
，得到 4 5 2， 又合并 1、2
堆，代价为 9
，得到 9 2 ，再合并得到 11
，总代价为 4+9+11=24
；

如果第二步是先合并 2、3
堆，则代价为 7
，得到 4 7，最后一次合并代价为 11
，总代价为 4+7+11=22
。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式
第一行一个数 N
表示石子的堆数 N
。

第二行 N
个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000
)。

输出格式
输出一个整数，表示最小代价。

数据范围
1≤N≤300
输入样例：
4
1 3 5 2
输出样例：
22

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 310;
int n;
int s[N]; //先读进去数组，再用于存储前缀和
int f[N][N];

int main ()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &s[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] += s[i - 1];
    
    for(int len = 2; len <= n; len ++ ) // 枚举区间长度，len=1不用枚举，因为只有一堆的话，不需要合并代价为0，f[1][n]已经初始化为0
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++ ) // 枚举起点。i + len - 1 <= n保证最后一个点要小于等于n
        {
            int l = i, r = i + len - 1; // 定义当前区间左右端点
            f[l][r] = 1e9; // 先初始化为无穷大
            for(int k = l; k < r; k ++ )
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]); //s[r] - s[l - 1]表示l堆到r堆的总代价
        }
    
    printf("%d\n", f[1][n]);
    return 0;
}

数组 s 用于存储输入的数列，并且计算了数组的前缀和，即 s[i] 表示前 i 个数字的和。

动态规划的状态定义为 f[l][r]，表示将区间 [l, r] 的数字合并成一堆的最小代价。

状态转移方程为 f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1])，其中 l <= k < r。这里 f[l][k] 表示将区间 [l, k] 合并成一堆的最小代价，f[k + 1][r] 表示将区间 [k + 1, r] 合并成一堆的最小代价，s[r] - s[l - 1] 表示区间 [l, r] 内所有数字的和，即合并后的代价。因此，通过枚举区间内的所有可能的分割点 k，找到最小的合并代价。

最终答案存储在 f[1][n] 中，即将整个序列 [1, n] 合并成一堆的最小代价。

这种方法的时间复杂度为 O(n^3)，适用于较小规模的问题。