【数据结构】二叉树的顺序结构及实现（堆）

1.二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

 

 2.堆的概念及结构

堆的性质：

        堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

        堆总是一棵完全二叉树。

其中堆也可以分为大堆和小堆。堆中根节点最大，向下递减的是大堆；根节点最小，向下递增的是小堆；

3.堆的实现

3.1堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整 成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[]={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

 3.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算 法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的 子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6}; 

 3.3建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的 就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：向下调整建堆的时间复杂度为：O(N)。 

3.4堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

 3.5堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调 整算法。

3.6堆的代码实现

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

void HeapCreate(HP* hp, HPDataType* a);		//堆的构建
void HpDestroy(HP* hp);		//堆的销毁
void HpPush(HP* hp,HPDataType x);		//堆的插入
void HpPop(HP* hp);			//堆的删除
HPDataType HpTop(HP* hp);		//取堆顶的数据
int HeapSize(HP* hp);		//堆的数据个数
bool HpEmpty(HP* hp);		//堆的判空

3.7堆的应用

3.71堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆 升序：建大堆 降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序 建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

3.72 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素