Chapter4—随机变量的数字特征

1. 数学期望

数学期望刻画了随机变量X的所有可能取值在概率意义下的平均值,实际上是均值的一种体现。

离散型随机变量的数学期望:

连续型随机变量的数学期望:

随机变量函数的数学期望:

数学期望的性质:

2. 方差

定义:反应随机变量与其数学期望的偏离程度

设是一个随机变量,如果存在,则称为的方差,记为,即
称为的标准差

性质:

重要分布的期望和方差:

其中,指数分布的概率密度函数为:

3. 协方差

描述二维随机变量之间的与的关系。

协方差的定义:

协方差的计算式以及性质:

补:
推广到n维随机变量得到:

4. 相关系数

相关系数的定义:"标准化的协方差"

设是二维随机变量,若,称
为和的相关系数,当,称随机变量与不相关
注意:当与独立时,与不相关。因为:

等价定义:将随机变量标准化为
则,

相关系数的性质:

设为随机变量的相关系数,则有:
(1). 。
(2). 的充要条件是与依概率线性相关,即存在常数,使证明过程见《概率论与随机过程》P115

讨论:

  • 当时,与存在线性相关的概率为1,不存在线性相关的概率为0.
  • 当时,这种线性相关的概率随着的降低而减小。
  • 当时,它们之间不存在线性关系。

5. 矩的概念

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