Chapter4—随机变量的数字特征

1. 数学期望

数学期望刻画了随机变量X的所有可能取值在概率意义下的平均值，实际上是均值的一种体现。

离散型随机变量的数学期望：

连续型随机变量的数学期望：

随机变量函数的数学期望:

数学期望的性质：

2. 方差

定义：反应随机变量与其数学期望的偏离程度

设是一个随机变量，如果存在，则称为的方差，记为，即
称为的标准差。

性质：

重要分布的期望和方差：

其中，指数分布的概率密度函数为：

3. 协方差

描述二维随机变量之间的与的关系。

协方差的定义：

协方差的计算式以及性质：

补：
推广到n维随机变量得到：

4. 相关系数

相关系数的定义："标准化的协方差"

设是二维随机变量，若，称
为和的相关系数，当，称随机变量与不相关。
注意：当与独立时，与不相关。因为：

等价定义：将随机变量标准化为
则，

相关系数的性质：

设为随机变量的相关系数，则有：
(1). 。
(2). 的充要条件是与依概率线性相关，即存在常数，使证明过程见《概率论与随机过程》P115

讨论：

• 当时，与存在线性相关的概率为1，不存在线性相关的概率为0.
• 当时，这种线性相关的概率随着的降低而减小。
• 当时，它们之间不存在线性关系。

5. 矩的概念