数据结构第二季 Day18 动态规划中篇、最大连续子序列和、最长上升子序列

一、动态规划中篇

1、动态规划的新手三步曲是什么？

• ①暴力递归（自顶向下，会出现重复计算子问题）
• ②记忆化搜索（自顶向下，为解决重复计算子问题）
• ③递推（自底向上，去除递归）

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2、动态规划的常规步骤，也是三步曲（这应该是最重要的专业概念了）

• ①定义状态（状态是原问题、子问题的解）：比如定义 dp(i)的含义
• ②设置初始状态（边界）：比如设置 dp(0)的值
• ③确定状态转移方程：比如确定 dp(i) 和 dp(i-1) 的关系

• 上述概念结合兑换零钱的例子，就理解起来很到位

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3、可以通过动态规划来解决的问题，通常具备哪 2 个特点？分别是什么含义？

• 最优子结构（最优化原理）：通过求解子问题的最优解，可以获得原问题的最优解
• 无后效性：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受到此前各状态及决策的影响（未来与过去无关）

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4、借助下面例子理解，什么是无后效性？

• dp(i-1) 对后面的 dp(i) 没有任何影响

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5、结合例子理解，什么是有后效性？

• dp(i-1) 的路线选择，会对 dp(i)的结果造成影响，就是有后效性

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二、最大连续子序列和

1、什么是最大连续子序列和的问题？

• 给定一个长度为 n 的整数序列，求它的最大连续子序列和？
• 比如 -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4 的最大连续子序列和是 4 + (-1) + 2 + 1 = 6

2、它的状态如何定义？

• 状态定义真的很难，如果提高定义的效率呢？
• 总得来说还是得把题目读透彻了，如何把题目读透彻呢？
• 像下面的做法，把最优解获得的思路多分析几遍，看看有哪几种思路？
• 然后分析 i 从 0 到 8 的情况，大概率就能找到规律了。
• 总结：“走进题目，熟读题目”

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3、状态定义好了，如何找状态转移方程和初始化？

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4、有了动态规划的三要素，如何编写递推代码呢？

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5、仔细观察上面的代码执行流程，是否存在优化点？

• 可以从以下两个角度入手找优化：
• ①分配了空间，但是后面都没用到了（从空间复杂度优化）
• ②能不能再循环的时候，顺便把事情做了（从时间复杂度优化）

• 分析上述代码：
• dp(6) 仅仅依赖于 dp(5)，dp(7)仅仅依赖于dp(6)，dp[i]仅仅依赖于 dp[i-1]
• 然而我们存了 dp[0]、dp[1]、dp[2]......dp(n) 的所有数据，所以我们的空间有点浪费的，是存在优化点的。

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三、最长上升子序列

1、题意准确理解：子序列要求是连续的吗？

• 子序列不需要连续

2、什么是经典的：最长上升子序列问题？

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• 拿到一道算法题，首先最重要的是理解题意
• 理解题意可以通过带入几个最优解的情况，这样比较容易深入理解题意。

2、动态规划 - 状态定义

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3、动态规划 - 状态转换方程的定义

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4、动态规划 - 代码的实现

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5、使用牌堆和二分搜索法，是另一种思路（这种思路太难想，目前作为了解吧）

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