一个基于坐标系的几何画图网页，对于计算几何，这个网页用来画图、打草稿啥的挺好用。
向量
点积（内积）
线性代数中的通用公式
对于维的向量和，和表示向量和在第个维度上的分量。
亦可化简为：
对于二维向量和
- 设向量和的模分别为和，其夹角为，则有
- 向量自身的点积为其长度的平方。
- 点积与方向的关系：
| 和 的方向 | ||
|---|---|---|
| <0 | 钝角 | 反向 |
| =0 | 直角 | 垂直 |
| >0 | 锐角 | 同向 |
叉积（外积）
线性代数中的通用公式
涉及到行列式展开计算，这里用三维举例。
对于二维向量和
- 叉积可以用来求出法向量方向。
- 叉积为向量围成的平行四边形的面积（带符号）。
- 若，则表示可通过逆时针方向旋转至方向，小于0则为顺时针，等于0则表示两个向量共线。
单位向量
对于向量，其单位向量
投影
对于向量、，在上的投影为
例题
POJ 2007：Scrambled Polygon
代码模板
// 二维向量
struct Vector
{
double x, y;
Vector ()
{}
Vector (double x, double y) : x(x), y(y)
{}
// 点积
double operator* (Vector v)
{
return x * v.x + y * v.y;
}
// 叉积
double operator^ (Vector v)
{
return x * v.y - y * v.x;
}
// 乘法
Vector operator* (double d)
{
return Vector(x * d, y * d);
}
// 加法
Vector operator+ (Vector v)
{
return Vector(x + v.x, y + v.y);
}
// 减法
Vector operator- (Vector v)
{
return Vector(x - v.x, y - v.y);
}
// 模
double length ()
{
return sqrt((*this) * (*this));
}
// 单位化
Vector unit ()
{
return (*this) * (1.0 / length());
}
};
点
点与向量的表示方法相同，都可以通过两个坐标来表示，直接重用向量即可，无需重复定义。
绕点旋转
点绕点旋转，其实可以直接理解成旋转到，其中点为旋转的中心。
可以先将平移至原点，旋转完成后，再平移回原来位置。
设:
原向量与x轴夹角为，表示为
旋转后的向量与x轴夹角为,表示为
为
有如下推导：
代码模板
#define Point Vector
// 作为Vector成员函数
Vector rotate (double alpha)
{
return Vector(x + (x * cos(alpha) - y * sin(alpha)),
y + (x * sin(alpha) + y * cos(alpha)));
}
例题
POJ 2624：4th Point
直线
两点连成线，用两个点相减即可表示。
点-线距离
对于点A、B所在直线和点P，P点到直线的距离有：
设到的距离为
点-线位置
对于点A、B所在直线和点P，利用前面介绍的叉积与向量方向关系的性质，构造向量，通过来判断P和的位置关系：
过点做垂线
对于点A、B所在直线和点P：
垂线：将直线所在向量旋转，并平移至经过点即可。
垂足：利用点积求出在上投影的长度，即为垂足的位置。
直线-直线的位置
对于点、所在直线和C、D所在直线：
如果二者不相交（平行或相等），则和在同一侧，其叉积值和符号都相同，相减为。反之则不为零。
如果二者不相交，则再通过到的距离来判断二者是否相等。距离为则相等，否则平行。
若二者相交，通过相似三角形的比例关系，可求得则其交点位置为：
代码
// 二维直线
struct Line
{
Point x, y;
// 通过两点构造直线
Line (Point x, Point y) : x(x), y(y)
{}
// 点和方向向量来构造线
static Line makeLine (Point x, Vector v)
{
return Line(x, x + v);
}
bool operator== (const Line &rhs) const
{
return x == rhs.x &&
y == rhs.y;
}
bool operator!= (const Line &rhs) const
{
return !(rhs == *this);
}
// 线长度
double length ()
{
return (y - x).length();
}
// 点到该直线的距离
double dist (Point p)
{
return fabs((x - p) ^ (y - p)) / length();
}
// #define EPS 1e-6
// 判断点和直线的位置
int side (Point p)
{
double result = (y - x) ^(p - x);
if (fabs(result) < EPS)
return 0; // 在线上
else if (result > 0)
return 1; // 左侧
else
return -1; // 右侧
}
// 过点做垂线
Line vertical (Point p)
{
return makeLine(p, (y - x).rotate(PI / 2));
}
// 垂足
Point foot (Point p)
{
Vector self = y - x;
return x + self.unit() * self.project(p - x);
}
Point intersect (Line l)
{
double s1 = ((x-l.x) ^(l.y - l.x)) / 2 ;
double s2 = ((l.y-l.x) ^(y - l.x)) / 2;
if (fabs(s1 + s2) < EPS)
{
if (l.dist(x))
return l.x; // 重合
else
return l.y; // 平行
} else
return x + (y - x) * (s1 / (s1 + s2)); // 交点
}
};
线段
点-线段位置
对于点和线段，构造向量，求叉积有：
对于共线的情况，再根据两个端点的坐标判断，是否在线段上，即满足以下情况的，即为点在线段上：
直线-线段位置
对于直线和线段，二者位置关系的判断：
- 构造向量，并求叉积
- 若叉积都不为，且符号相同，则可认为点都在向量同一侧，或二者重合。
- 如果一个端点到直线的距离为，则二者重合。
- 否则，二者不相交。
- 否则二者相交。交点位置求法同直线-直线交点位置。
线段-线段位置
规范相交：两条线段恰有一个不是端点的公共点。
对于直线和线段，利用叉积的符号判断是否为规范相交，即任一条线段的两个端点都分属另一条线段的两侧，满足以下条件：
如不满足以上条件，再判断两条线段的端点是否在另一条线段上，若是则为非规范相交，否则二者不相交。
例题
POJ 3304：Segments
POJ 1039：Pipe
代码
// 二维线段
struct Seg
{
Point x, y;
Seg (const Point &x, const Point &y) : x(x), y(y)
{}
// 判断点是否在线段内
bool pointIn (Point p)
{
double cross = (x - p) ^(y - x);
if (fabs(cross) < EPS)
return 0;
if (fabs(p.x - min(x.x, y.x)) < EPS &&
fabs(p.y - min(x.y, y.y)) < EPS &&
fabs(max(x.x, y.x) - p.x) < EPS &&
fabs(max(x.y, y.y) - p.y) < EPS)
return 1;
return 0;
}
Point intersect (Line l)
{
int s1 = l.side(x);
int s2 = l.side(y);
if (s1 * s2 > 0)
{
// if (l.dist(x) < EPS)
// return l.y; // 重合
// else
return Point(EPS / 10, EPS / 10);// 不相交
} else if (s1 == 0 && s2 == 0)
{
return l.x;// 重合
} else if (s1 == 0) // 一个端点在直线上
{
return x;
} else if (s2 == 0) // 另一个端点在直线上
{
return y;
} else
{
return Line(x, y).intersect(l); // 交点
}
}
// 判断线段相交
bool isIntersected (Seg s)
{
Point p1 = x;
Point p2 = y;
Point p3 = s.x;
Point p4 = s.y;
double s1 = (p3 - p1) ^(p4 - p1);
double s2 = (p4 - p2) ^(p3 - p2);
if (((p2 - p1) ^ (p3 - p1) * ((p2 - p1) ^ (p4 - p1))) < -EPS &&
(((p4 - p3) ^ (p1 - p3)) * ((p4 - p3) ^ (p2 - p3))) < -EPS)
return 1; // 规范相交
if (s.pointIn(p1) || s.pointIn(p2) || pointIn(p3) || pointIn(p4))
return 1; // 非规范相交
return 0;
}
bool operator== (const Seg &rhs) const
{
return x == rhs.x &&
y == rhs.y;
}
bool operator!= (const Seg &rhs) const
{
return !(rhs == *this);
}
};
多边形
凸多边形
百度百科：凸多边形是一个内部为凸集的简单多边形。凸多边形（Convex Polygon）指如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是优角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。
就是没有凹角的多边形，特点是所有边所在的直线都不会穿过其他边。
多边形面积
对多边形进行三角剖分：
- 设原点为
- 按逆时针方向为个条边指定方向
- 对于每条边，累加
点-多边形位置
设多边形的顶点序列为、待判定的点 。
射线法
算法思路
过做水平射线：
若与的边界不相交，则在的外部。
-
若相交，则再分析交点数的奇偶性。
交点数 点相对于多边形的位置 奇数 内部 偶数 外部 -
需要注意的是，当多边形不是凸多边形时，需要考虑特殊情况：
- 射线恰好经过的某个顶点
- 射线恰好与的某条边重合
算法特点
- 运算速度快
- 精度高
- 特殊情况较多
转角法
算法思路
沿多边形走一圈，累计绕点旋转了多少角度。（需要保证边的方向一致）
| 角度 | 点相对于多边形的位置 |
|---|---|
| 外部 | |
| 点在多边形的边上 | |
| 内部 |
假设向量 其角度通过点积公式可以求出:
（仅适用于凸包）或使用累乘叉乘，判断点和边的位置关系：
- 当点位于所有边向量的同一侧时（叉乘值同号），其在多边形内部。
- 如果没有出现在同一侧，则为外部（叉乘值异号）。
- 在多边形上的情况是可以直接判断出来的（叉乘为0）。
算法特点
- 几乎没有特殊情况
- 精度低、速度较慢（需要用到反三角函数、开方等）
求凸包（凸壳）
给定一个平面点集，要求找到一个最小的凸多边形，满足点集中所有点都在凸多边形内部或边上。
稳定凸包
对于已有的凸包中，无法通过在平面中添加一个点获取到更大的凸包，则该已有的凸包称为稳定凸包。
特性：凸包的每条边上，都有大于等于个的顶点。
具体可见例题【POJ 1228 Grandpa's Estate】。
半平面交
半平面
一条直线将一个平面分为2个半平面，直线是有向的，设直线方向左边的平面为我们研究的半平面（包含直线）。
半平面交
被（多个）半平面包含的点的集合。
性质：半平面交的结果是一个凸区域。
求交
对于每一条多边形的每一条边、表示半平面的直线：
对多边形按照逆时针排序。
如果边的起点位于半平面中，则将点加入结果集。
求边与的交点，并将结果加入结果集。（即使点不在半平面中，也需要这步操作）
增量法
- 构造一个足够大的矩形。
- 依次用半平面和该矩形求交。
时间复杂度：
分治法（二分）
- 将个半平面分成个大小近似相等的集合。
- 递归地构造凸多边形区域与。
- 合并与。
时间复杂度：
例题
POJ 1569:Myacm Triangles
POJ 1113-Wall
POJ 1228-Grandpa's Estate
代码
// 二维多边形
struct Polygon
{
// 点集
vector points;
Polygon (const vector &points) : points(points)
{}
Polygon ()
{}
/**
* 根据已排序的点集来求半个凸壳（上半个或下半个）
* @param pts 已排序的点集
* @return 半个凸包中的点，有序，逆时针序
*/
deque getHalfConvexHull (const vector &pts) const
{
deque deq;
int si = pts.size();
int i = 2;
deq.pb(pts[0]);
deq.pb(pts[1]);
while (i < si)
{
Point nt = pts[i];
++i;
while (deq.size() >= 2)
{
Point p2 = deq[deq.size() - 2], p1 = deq.back();
Vector b = p2 - p1, a = p1 - nt;
double d = (b ^ a);
if (d <= 0)
deq.pop_back();
else
break;
}
deq.pb(nt);
}
return deq;
}
/**
* 水平序扫描法
* 求该多边形的凸包
* @return 凸包的点集，有序，逆时针序
*/
vector getConvexHull ()
{
vector pts(points);
vector con;
// 2个点无法构成凸包
if (pts.size() <= 2)
{
return con;
}
// 下凸壳
sort(pts.begin(), pts.end());
deque temp = getHalfConvexHull(pts);
for (int i = 0; i < temp.size(); ++i)
{
con.pb(temp[i]);
}
temp.clear();
// 上凸壳
sort(pts.begin(), pts.end(), greater());
temp = getHalfConvexHull(pts);
for (int i = 1; i < temp.size() - 1; ++i)
{
con.pb(temp[i]);
}
return con;
}
};