背包问题的空间优化

01背包

题目描述

有 $n$ 个重量和价值分别为 $w_i$，$v_i$ 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 $W$ 的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。
数据范围：
$1\le n\le 100$
$1\le w_i,v_i\le 100$
$1\le W\le 10000$

---

优化前

• 递推式：

$$\begin{array}{rl}dp[0][j]& =0\\ dp[i+1][j]& =\{\begin{array}{ll}dp[i][j]& ,j<w_i\\ max\{dp[i][j],dp[i][j-w_i]+v_i\}& ,j\ge w_i\end{array}\end{array}$$

• 代码：

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX][MAX]             // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= W; j++)
		{
			if (j < w[i])
				dp[i + 1][j] = dp[i][j];
			else
				dp[i + 1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	printf("%d\n", dp[n][W]);
}

优化一：二维数组

由 $dp[i+1][j]=max\{dp[i][j],dp[i][j-w_i]+v_i\}$，我们可以发现，虽然 $dp[MAX][MAX]$ 有 $MAX$ 行，但是每次只访问 $i$ 和 $i+1$行。因此，我们只要用一个 $dp[2][MAX]$ 就能实现原来的功能。

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[2][MAX]               // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= W; j++)
		{
			if (j < w[i])
				dp[(i + 1) & 1][j] = dp[i & 1][j];
			else
				dp[(i + 1) & 1][j] = max(dp[i & 1][j], dp[i & 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	printf("%d\n", dp[n & 1][W]);
}

• & 按位与是一个双目操作符，对数字的二进制位进行操作。规则是：两个数字相对应的二进制位相同，运算结果为1；不同，则为0。
• 由十进制与二进制的转换规则可知，从右往左看，偶数的第一个二进制为0；奇数的第一个二进制位为1。

所以，我们可以得到：
$$i\&1=\{\begin{array}{ll}1& ,i=2\ast k+1\\ 0& ,i=2\ast k\end{array}k=0,1,\mathrm{2...}$$

---

优化二：一维数组

动态规划的核心是先记录，再访问。如果访问过后，数据就不要再需要了，那么覆盖这条记录也不会对结果造成影响。因此，我们只使用一个一维数组 $dp[MAX]$ 也能达到目的。
我们再来看递推式：

$$\begin{array}{rl}dp[0][j]& =0\\ dp[i+1][j]& =\{\begin{array}{ll}dp[i][j]& ,j<w_i\\ max\{dp[i][j],dp[i][j-w_i]+v_i\}& ,j\ge w_i\end{array}\end{array}$$

• 当 $j<w_i$ 时，从二维的视角来看，数据从 $dp[i][j]$ 拷贝到 $dp[i+1][j]$；切换到一维，数据其实没有发生变化，也就是说不需要对原来的数据进行操作。
  
• 当 $j\ge w_i$ 时，从二维的视角来看，计算 $dp[i+1][j]$ 需要访问 $dp[i][j]$ 和 $dp[i][j-w_i]$。再到一维，就可以发现，需要的数据是总是在该位置的左半部分（要计算第 $j$ 列，需要访问第 $j$ 列和第 $j-w_i$ 列的数据）。也就是说，右半部分的数据是可以覆盖的）。
  

原来的代码是

for (int j = 0; j <= W; j++)

因为是从左向右的循环，所以肯定影响后来的计算。若改为从右往左计算，则能避免这样的问题。

$$dp[j]=max\{dp[j],dp[j-w_i]+v_i\},j\ge w_i$$

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX]                  // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = W; j >= w[i]; j--)
		{
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	printf("%d\n", dp[W]);
}

---

完全背包

题目描述

有 $n$ 个重量和价值分别为 $w_i$，$v_i$ 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 $W$ 的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。
数据范围：
$1\le n\le 100$
$1\le w_i,v_i\le 100$
$1\le W\le 10000$

---

优化前

• 递推式

$$\begin{array}{rl}dp[0][j]& =0\\ dp[i+1][j]& =\{\begin{array}{ll}dp[i][j]& ,j<w_i\\ max\{dp[i][j],dp[i+1][j-w_i]+v_i\}& ,j\ge w_i\end{array}\end{array}$$

• 代码

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX][MAX]             // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= W; j++)
		{
			if (j < w[i])
				dp[i + 1][j] = dp[i][j];
			else
				dp[i + 1][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]);   // 与01背包唯一的不同
		}
	}

	printf("%d\n", dp[n][W]);
}

---

优化一：二维数组

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[2][MAX]               // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= W; j++)
		{
			if (j < w[i])
				dp[(i + 1) & 1][j] = dp[i & 1][j];
			else
				dp[(i + 1) & 1][j] = max(dp[i & 1][j], dp[(i + 1) & 1][j - w[i]] + v[i]);   // 与01背包唯一的不同
		}
	}

	printf("%d\n", dp[n & 1][W]);
}

---

优化二：一维数组

• 当 $j<w_i$ 时，与01背包中的分析一样。
  
• 当 $j\ge w_i$ 时，与01背包唯一的不同是，其中一个数据由 $dp[i][j-w_i]$ 变成了 $dp[i+1][j-w_i]$。虽然都是访问计算点左半部分的数据，但是，需要注意的是，访问的是新数据（$i+1$），不是老数据（$i$）。因此，第二个循环必须是从左往右的。
  

$$dp[j]=max\{dp[j],dp[j-w_i]+v_i\},j\ge w_i$$

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX]                  // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = w[i]; j <= W; j++)
		{
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	printf("%d\n", dp[W]);
}

与01背包比较，通过该方法优化后，二者代码的区别仅在第二个循环的方向：

• 01背包：

for (int j = W; j >= w[i]; j--) \\ 从右往左

• 完全背包：

for (int j = w[i]; j <= W; j++) \\ 从左往右

---

完