寻找包含点k的以点集P中的三个点为顶点的最小三角形

问题描述

通过Lawson算法实现 Delaunay 三角剖分中有这么一个步骤：

Computational Geometry Algoorithms and Applications 3ed.Springer:2008:200

就比如说，点集P内有五个点A、B、C、O、K，其中A、B、C、O已经组成四个三角形(ABC, ABO, BCO, CAO)，怎么确定包含K的最小三角形AOC呢？

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引用

以下内容翻译自Computational Geometry Algoorithms and Applications 3ed. Springer:2008:202-204，我英语水平让人捉急，勿怪，原文会放在最后。

我们使用和第六章用过的十分相似的一个方法寻找包含点 p_r 的三角形：当我们构造Delaunay三角剖分的同时，也构造了一个点位置结构(point location structure) D ，它是一个有向无环图(DAG)。 D 的叶子结点相当于当前三角剖分 T 的三角形，并且保留这些叶子和三角剖分的交叉点。 D 的内部结点相当于三角化时早期创建的那些三角形，这些三角形现在早已被销毁了。点的位置结构的构造方法如下。在算法第三行，将 D 初始化为一个只有一个叶子结点的DAG，该叶子结点相当于三角形 p₀p_-1p_-2 。

假使在某点，将三角剖分中的三角形 p_ip_jp_j 分成两个(或三个)新的三角形。这个过程相当于往 D 中新增了两个(或三个)新的叶子结点，并使 p_ip_jp_k 对应的叶子结点成为带有向外的指针的内部结点，指向两个(或三个)叶子结点。同样地，通过边交换(edge flip)把三角形 p_kp_ip_l 和
p_kp_lp_j 变成 p_kp_ip_j 和 p_ip_jp_l，也创建了两个新的三角形对应的叶子结点。图9.9展示了 D 中新增一个点时的变化。注意：当使一个叶子结点称为内部结点时，这个结点最多获得三个向外的指针。

图9.9 The effect of inserting point pr into triangle ∆1 on the data structure D (the part of D that does not change is omitted in the figure)

通过 D 能定位下一个要添加到三角剖分的点p_r，如下。 D 的根结点root对应于最初的三角形 p₀p_-1p_-2，从root出发，我们检查root的三个孩子，确定点 p_r 在哪个三角形内，并继续往下到那个孩子（那个三角形对应的孩子）。继续检查该孩子的三个孩子，确定哪个孩子对应的三角形包含 p_r ，然后一直这样下去，直到遇到 D 的叶子结点。叶子结点对应的三角形包含点p_r。由于任一节点的出度(out-degree)最多为3，因此搜索路径上的节点数(或者说存储在 D 中的包含点p_r的三角形的数目)花费线性的时间(不知道这句话翻译的是否准确)。

分析

书上讲的很清楚了，我先用大白话解释下其中的几点内容。

1. 一个三角剖分的三角形 等价于 一个DAG图的结点，这可能是很多人一开始没读明白的。而这个DAG图是臆想出来的，构造它是为了借助它操作它对应的三角剖分。

2. “早期”、“当前”：看第一张图，Lawson算法采用的是一种叫“随机增量”的方法，就是把点集中的点一个一个有先后顺序地加到 T 中，所以就有 “之前已经加入”，“当前正要加入”，“接下来将加入” 之类地说法。

3. 用前面的图总结下这个过程（寻找点M所在的三角形），先忽略它是不是Delaunay三角剖分：已知M肯定在最大的三角形ABC(root)内，遍历它的三个孩子CAO,ABO,BCO，检查M在root的哪个孩子内。发现在CAO中，遍历CAO的三个孩子CAK,AOK,OCK，检查M在CAO的哪个孩子内。发现在OCK中，而OCK没有孩子，它就是个叶子了，得出结论：M在OCK中。

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再考虑一些细节。

1. DAG图是需要完整存储的，否则没法通过父子关系依次寻找。
2. 注意 flip 时并没有将两个原三角形对应的结点销毁，而是将两个新三角形对应的结点作为两个原结点共同的孩子。
3. 未完待续...

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以下是原文：

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203-204