P3366 【模板】最小生成树(Prim算法)

Problem: P3366 【模板】最小生成树

思路

这是一个求最小生成树的问题。给定一个无向图，需要找到连接所有节点的最小权重边集合。如果图不连通，则输出"orz"。
最小生成树是一棵包含图中所有节点的树，且树中的边的权重之和最小。常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

解题方法

本题可以使用Prim算法来解决。Prim算法的基本思想是从一个起始节点开始，每次选择一个与当前生成树相连的权重最小的边，将其加入生成树中，直到生成树包含了所有节点。
具体步骤如下：

1. 创建一个优先队列（最小堆）用于存储待选边，初始时将起始节点的所有边加入队列。
2. 创建一个布尔数组用于标记节点是否已经加入生成树，初始时只有起始节点被标记为已加入。
3. 创建一个变量用于记录已加入生成树的节点数量，初始时为1。
4. 创建一个变量用于记录最小生成树的总权重，初始时为0。
5. 循环执行以下步骤，直到生成树包含了所有节点：

• 从优先队列中取出权重最小的边，记为当前边。
• 如果当前边的另一个节点未加入生成树，则将该节点加入生成树，并将节点数量加1，将当前边的权重加入总权重。
• 将当前边的另一个节点的所有边加入优先队列。

6. 判断生成树的节点数量是否等于图中的节点数量，如果相等，则输出最小生成树的总权重，否则输出"orz"。

复杂度

时间复杂度:

时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为$O((V+E)logV)$，其中V为节点数量，E为边数量。

空间复杂度:

空间复杂度：Prim算法的空间复杂度为$O(V)$，其中V为节点数量。

Code

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.PriorityQueue;

public class Main {
	static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static StreamTokenizer sr = new StreamTokenizer(in);
	static int MAXN = 5010;
	static int MAXM = 200010;
	static int n, m;

	public static void main(String[] args) throws IOException {
		List> graph = new ArrayList<>();
		n = nextInt();
		m = nextInt();
		for (int i = 0; i <= n; i++) {
			graph.add(new ArrayList<>());
		}
		for (int i = 0, f, t, w; i < m; i++) {
			f = nextInt();
			t = nextInt();
			w = nextInt();
			graph.get(f).add(new int[] { t, w });
			graph.get(t).add(new int[] { f, w });
		}
		PriorityQueue heap = new PriorityQueue<>((a, b) -> a[1] - b[1]);
		for (int[] edge : graph.get(1)) {
			heap.add(edge);
		}
		boolean[] set = new boolean[n + 1];
		int nodeCnt = 1;
		set[1] = true;
		int ans = 0;
		while(!heap.isEmpty()) {
			int[] edge = heap.poll();
			int next = edge[0];
			int cost = edge[1];
			if(!set[next]) {
				set[next] = true;
				nodeCnt++;
				ans += cost;
				for(int[] e : graph.get(next)) {
					heap.add(e);
				}
			}
		}
		out.println(nodeCnt == n ? ans : "orz");
		out.flush();

	}

	static int nextInt() throws IOException {
		sr.nextToken();
		return (int) sr.nval;
	}

}