回溯算法:N皇后问题

N皇后问题是一个经典的回溯算法应用问题，要求在一个N×N的棋盘上放置N个皇后，使得它们互不攻击。即任何两个皇后都不能位于同一行、同一列或同一对角线上。这个问题可以通过回溯算法来解决，下面详细讲解这个问题的解法。

解题思路

1. 逐行放置：一种有效的解决方案是逐行放置皇后，这样可以保证每行只有一个皇后。
2. 检查冲突：放置每个皇后时，需要检查当前放置的皇后是否与已放置的皇后冲突（即检查列和对角线）。
3. 回溯：如果当前行没有合法的列可以放置皇后，或者放置后无法在后续行找到合法放置位置，则需要回溯到上一行，改变皇后的位置继续尝试。
4. 找到解后返回：当所有N个皇后都放置完毕时，记录下当前的棋盘布局作为一个解，然后回溯尝试其他可能的布局。

关键步骤

1. 递归函数定义：定义一个递归函数，参数至少包含当前处理的行号和棋盘状态。
2. 终止条件：当行号等于N时，说明已经成功放置了N个皇后，记录下当前解。
3. 遍历当前行的每一列：尝试在当前行的每一列放置皇后。
4. 检查是否可以放置皇后：对于当前选定的列，检查放置皇后后是否会与之前放置的皇后发生冲突。
5. 递归尝试放置下一行的皇后：如果当前行的皇后放置成功，递归调用函数尝试放置下一行的皇后。
6. 回溯：如果放置当前行的皇后后无法找到合法的解决方案，则需要撤销当前行的皇后放置，尝试当前行的下一列。

代码实现

代码实现中已经包含了详细的注释，解释了每一步的作用。关键点在于如何检查皇后之间是否互相攻击，这可以通过检查同一列和两个对角线来实现。对于对角线的检查，有两种对角线：一种是行号与列号之差相等的对角线，另一种是行号与列号之和相等的对角线。如果两个皇后位于同一对角线上，它们的行号与列号的差或和将相等。

通过回溯算法的深度优先搜索，我们可以找到所有可能的解决方案。每次尝试放置皇后时，如果发现当前选择导致没有合法的解决方案，就回溯到上一步，尝试其他可能的放置方式。这个过程重复进行，直到找到所有合法的解决方案或遍历完所有可能的放置方式。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class NQueens {
    // 解集，存放所有可能的解
    private List> solutions = new ArrayList<>();
    
    // 入口方法，n表示棋盘的大小
    public List> solveNQueens(int n) {
        // 初始化棋盘，用'.'表示空，'Q'表示皇后
        char[][] board = new char[n][n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                board[i][j] = '.';
            }
        }
        // 从第0行开始尝试放置皇后
        backtrack(board, 0);
        return solutions;
    }
    
    // 回溯方法，row表示当前操作的行
    private void backtrack(char[][] board, int row) {
        // 如果当前行超过了棋盘的行数，说明找到了一种解法
        if (row == board.length) {
            solutions.add(construct(board)); // 将当前解法添加到解集中
            return;
        }
        // 尝试在当前行的每一列中放置皇后
        for (int col = 0; col < board.length; col++) {
            // 检查在[row, col]位置放置皇后是否合法
            if (isValid(board, row, col)) {
                board[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
                backtrack(board, row + 1); // 移动到下一行
                board[row][col] = '.'; // 回溯，撤销当前行的皇后
            }
        }
    }
    
    // 检查放置皇后是否合法
    private boolean isValid(char[][] board, int row, int col) {
        // 检查当前列是否有皇后
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (board[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // 检查左上对角线是否有皇后
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // 检查右上对角线是否有皇后
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < board.length; i--, j++) {
            if (board[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    // 构建解法
    private List construct(char[][] board) {
        List solution = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < board.length; i++) {
            String row = new String(board[i]);
            solution.add(row);
        }
        return solution;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        NQueens solution = new NQueens();
        List> solutions = solution.solveNQueens(4); // 解决4皇后问题
        for (List sol : solutions) {
            for (String row : sol) {
                System.out.println(row);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

在这段代码中，solveNQueens方法初始化一个N×N的棋盘，并从第0行开始递归尝试放置皇后。backtrack方法负责在每一行尝试放置皇后，并检查是否合法。如果在当前行找到合法位置放置皇后，就递归调用自己尝试在下一行放置皇后。如果某一行无法放置皇后，则回溯到上一行，改变皇后的位置，再次尝试。

isValid方法用于检查在棋盘的[row, col]位置放置皇后是否会导致攻击现象，即检查当前列和两个对角线是否已经有皇后存在。

回溯算法的关键在于尝试并在遇到无法继续的情况下撤销（回溯）之前的尝试，寻找新的尝试路径。这样，通过枚举所有可能的情况，最终找到所有的解决方案。