学习笔记：数字三角形模型
概念
动态规划，解决问题的一种方法。将很多问题转换成多个子问题求解，先计算子问题，到达边界直接返回问题的值，最后得到最终答案的一种方法。动态规划分为两大类：记忆化搜索和递推。记忆化搜索更好写，但常数更高；递推不太好写，但是常数低。二者时间复杂度无特殊情况基本相同。
状态转移方程：将一个问题转换成子问题计算得到结果的方程。
d p dp dp：动态规划的简称。
数字三角形，就是一个三角形，每一个点都有一个数字，找一条路径满足题目要求。形如： 1 1 1 2 3 2 3 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6这样的一种图形被称为数字三角形。一般题目中要求最大值或者最小值。
方法
现在一个题目，要求下面数字三角形的路径最大值。 1 1 1 3 2 3 2 3 2 1 1 10 1 1 10 1 1 10因为我们是求最大值，则很容易想到一种方案：每次贪心选择两个点中最大的，但是在上面的三角形中会有一个问题：贪心选择的路径： 1 → 3 → 1 1\to 3\to 1 1→3→1，答案是 5 5 5。然而这个题的最优路径是 1 → 2 → 10 1\to 2\to 10 1→2→10，答案是 13 13 13。因为我们一个较小的下面可能藏了一个大的，然而较大的下面却全是小的。所以一个完美的方式就出来了：不难发现，到达一个数的路径，就是前面两个路径的最大值加上自己。因为以自己结束的只能是从上面两个点下来才可能。但是有一个点从它结束的值是固定的：第 1 1 1排第 1 1 1个。不管怎么走，都要从它开始，这就是边界情况。设 i i i为行数， j j j为列数，从 1 1 1开始编号，于是，我们的方案就出来了： f i , j = max ( f i − 1 , j , f i − 1 , j − 1 ) + a i , j f_{i,j}=\max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-1})+a_{i,j} fi,j=max(fi−1,j,fi−1,j−1)+ai,j，我们假定 f i , j = 0 , j > i ∣ ∣ j = 0 f_{i,j}=0,j>i||j=0 fi,j=0,j>i∣∣j=0。最后，我们考虑顺序。发现，到达一个数只需要知道上面两个数的 f f f即可，于是，顺序就是从第一排从上往下计算，又因为同一排的互补干扰，并不需要知道同一排的值，则在一排是什么顺序无所谓。
例题
AcWing 1015
这个题虽然变成了一个矩阵，但是仍然可以发现，每个点只能从北或西过来。只有左上角的点是一定要走的，这就是边界条件。现在，知道了解决每个点的子问题是什么，那么就很简单了。状态转移方程： f i , j = max ( f i − 1 , j , f i , j − 1 ) + a i , j f_{i,j}=\max(f_{i-1,j},f_{i,j-1})+a_{i,j} fi,j=max(fi−1,j,fi,j−1)+ai,j。因为解决一个点的子问题是上面或者左边，所以从上到下，从左到右即可。
#includeAcWing 1018
这个题发现并不是刚才的模型。但是不难发现，想要时间最短就只能往下或往右走。于是，就变成了刚才的题目。需要注意的是，第一排和第一列需要先计算，因为这里变成了求最小，如果越界了可能不对。当然，也可以先把数组初始化为正无穷，求 min \min min自然就不会选。
#includeAcWing 1027
法一
不难发现，这个题目和上上一道题差不多，但是要计算两次。于是可以想到一种方法：我们可以假设这个是同步进行的两个路径，毕竟两个路径怎么走除了同一点也没有什么影响。于是我们可以设 f i 1 , j 1 , i 2 , j 2 f_{i1,j1,i2,j2} fi1,j1,i2,j2为第一条路径走到 ( i 1 , j 1 ) (i1,j1) (i1,j1)，第二条走到 ( i 2 , j 2 ) (i2,j2) (i2,j2)的最大值。注意，我们两个路径长度必须一样，这样才是同步进行。因为只能往下或往右走，所以长度就是 i + j i+j i+j，判断两个是否一样即可。然后，如果走到了同一点，则只加上一个点的值，反之两个路径的值都加上。然后计算状态转移，和上上题一样，只不过是两个加在一起。
#include法二
可以发现，这样会浪费计算很多东西，比如很多 i 1 + j 1 ≠ i 2 + j 2 i1+j1\not= i2+j2 i1+j1=i2+j2的情况是浪费的。于是，为了避免浪费，可以发现两个和一样，那么就统计一个和为 k k k，就有 f k , i 1 , i 2 f_{k,i1,i2} fk,i1,i2，要计算 j j j就直接用 k k k减去即可。这样，想判断是否为同一个点也十分简单，只要求 i 1 ≠ i 2 i1\not= i2 i1=i2即可。我们再来看看前面的状态转移方程分别对应什么： f i 1 − 1 , j 1 , i 2 − 1 , j 2 = f k − 1 , i 1 − 1 , i 2 − 1 f_{i1-1,j1,i2-1,j2}=f_{k-1,i1-1,i2-1} fi1−1,j1,i2−1,j2=fk−1,i1−1,i2−1 f i 1 − 1 , j 1 , i 2 , j 2 − 1 = f k − 1 , i 1 − 1 , i 2 f_{i1-1,j1,i2,j2-1}=f_{k-1,i1-1,i2} fi1−1,j1,i2,j2−1=fk−1,i1−1,i2 f i 1 , j 1 − 1 , i 2 − 1 , j 2 = f k − 1 , i 1 , i 2 − 1 f_{i1,j1-1,i2-1,j2}=f_{k-1,i1,i2-1} fi1,j1−1,i2−1,j2=fk−1,i1,i2−1 f i 1 , j 1 − 1 , i 2 , j 2 − 1 = f k − 1 , i 1 , i 2 f_{i1,j1-1,i2,j2-1}=f_{k-1,i1,i2} fi1,j1−1,i2,j2−1=fk−1,i1,i2所以，这些都可以一一对应，代码也是可行的，空间少了，浪费时间也少了。
#includeAcWing 275
法一
和上一题法一基本一模一样。本题不让走到同一点，那么就判断是否是同一点，是同一点就不计算。如果是从同一点过来的，那么那个点之前就没有更新，所以是零，最大值绝对不是它，所以也不会用它更新。因为两条路都会到最后一个点，所以最后一个点不会更新，直接输出差一步到达终点的两条路径即可。注意，这样的两条路径只有一个：从左边和上边来的两条路径。
#include法二
同上一题的法二，相同点的处理同本题法一。
#include