洛谷 P2669 [NOIP2015 普及组] 金币

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题目

洛谷 P2669 [NOIP2015 普及组] 金币

[NOIP2015 普及组] 金币

题目背景

NOIP2015 普及组 T1

题目描述

国王将金币作为工资，发放给忠诚的骑士。第一天，骑士收到一枚金币；之后两天（第二天和第三天），每天收到两枚金币；之后三天（第四、五、六天），每天收到三枚金币；之后四天（第七、八、九、十天），每天收到四枚金币……；这种工资发放模式会一直这样延续下去：当连续 $n$ 天每天收到 $n$ 枚金币后，骑士会在之后的连续 $n+1$ 天里，每天收到 $n+1$ 枚金币。

请计算在前 $k$ 天里，骑士一共获得了多少金币。

输入格式

一个正整数 $k$，表示发放金币的天数。

输出格式

一个正整数，即骑士收到的金币数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

14

样例 #2

样例输入 #2

1000

样例输出 #2

29820

提示

【样例 1 说明】

骑士第一天收到一枚金币；第二天和第三天，每天收到两枚金币；第四、五、六天，每天收到三枚金币。因此一共收到 $1+2+2+3+3+3=14$ 枚金币。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le k\le 10^4$。

想法

可以先观察一下这个数列：
$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,\dots$
能得出来什么规律呢？稍稍推理一下，我们就可以得到以下公式：
假设第$n$天会获取$m$个金币，则
$$m_n=\frac{1+\lfloor \sqrt{8n-7}\rfloor }{2}$$
那么，总的金币个数为$$\sum _{i=1}^n{m}_i$$
得出规律后，时间复杂度被压缩到了$O(n)$，不至于超时了。
至于推理的过程，如果不懂可以看这里：由1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……推出公式

实现

1. 用刚才得出的规律，写一个函数。
2. 算出每一天拿到的金币数，将它们累加起来。
3. 最后别忘记输出啊。

题解

C++

#include
using namespace std;

int coin(int n){ //计算第n天拿到的金币数
	return (1 + sqrt(8 * n - 7)) / 2; //套公式
}

int main(){
	int n,total = 0;
	cin >> n; //输入
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		total += coin(i); //调用函数，累加金币个数
	}
	cout << total; //输出
	return 0;
}

Python

import math
def coin(n): #计算第n天拿到的金币数
	return int((1 + int(math.sqrt(8 * n - 7))) / 2) #套公式

total = 0
n = int(input()) #输入
for i in range(1,n + 1):
	total += coin(i) #调用函数，累加金币个数

print(total) #输出

难度

难度：★★☆☆☆
这道题主要是推公式有点费解。公式推出来之后，题目迎刃而解，而且代码简洁。

结尾

你是怎么想的？欢迎留言啊！我们下期再见！(˵¯͒〰¯͒˵)