射影几何与度量几何（二）

射影几何与度量几何

彭赛列引进了图形射影和度量性质的区别，在1822年的书中称射影性质在逻辑上更加基本，而冯施陶特开始在与长度和角无关的基础上建立射影几何，法兰西学院教授拉盖尔(Edmond Laguerre,1834-1886)起初想研究射影变换下角度如何变换，1853年他给角的度量提供了射影基础，提出了根据射影概念来建立欧几里得几何度量性质的目标。
求两相交直线之间的夹角的度量，可考虑两直线通过原点的平行线，设过原点的直线方程（非齐次坐标）为y=xtgθ，y=xtgθ'，设y=ix和y=-ix为过原点到无穷远圆点，即到(1,i,0)与(1,-i,0)两点的直线（虚的），令此四直线分别为u,u',w,w'，设Φ为u与u'间的夹角，拉盖尔的结果是Φ=θ'-θ=i/2log(uu',ww')，其中(uu',ww')是四直线的交比，其意义在于用交比这一射影概念定义角的大小。对数函数是纯数量性的，因此可在任何几何中引进。
凯莱独立地迈进了第二步，他从代数观点研究几何，实际上他的兴趣在于代数形式（齐次多项式型）的几何解释，为了证明度量概念能用射影语言表达，他致力于欧氏几何和射影几何的关系，以下说明他《关于代数形式的第6篇论文》。
凯莱的工作实际上是拉盖尔思想的推广，拉盖尔用无穷远圆点定义平面角，虚圆点实际是退化的二次曲线，在二维时凯莱用任一二次曲线代替虚圆点，而在三维时引入任何二次曲面，他称这些图形为绝对形。凯莱断言图形所有的度量性质是加上了绝对形或关于绝对形的射影性质，他证明怎样通过这个原则导出角的新表达式与两点间距离的表达式。
他从平面上的点可用齐次坐标表示的事实出发，这些坐标不看作距离或距离的比，而作为基本概念不给出任何解释。为定义距离与角度大小，他引入二次型F(x,x)与双线型F(x,y)，方程F(x,x)=0定义一条二次曲线，即凯莱的绝对形。凯莱定义x=(x1,x2,x3)与y=(y1,y2,y3)两点间的距离δ为，定义线坐标为u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)的两直线夹角Φ为（感觉就是把x,y换成u,v）,若取特殊二次曲线为绝对形，则上述两个一般公式可简化，此时若(a1,a2,a3)与(b1,b2,b3)是齐次坐标，则a,b两点距离为，若两直线的齐次线坐标为(u1,u2,u3)和(v1,v2,v3)，则夹角Φ由下式给出：。距离的相加法则成立，取绝对形二次曲线为无穷远圆点，凯莱证明距离和角度的公式将化为普通的欧几里得公式。
长度和角度的表达式里包含绝对形的代数表达式，一般，任一欧几里得度量性质的解析表达式包含着该性质与绝对形的关系式，度量性质不是图形本身的性质，而是图形关于绝对形的性质，用射影关系决定度量，用凯莱的话说：度量几何是射影几何的一部分。
克莱因(Felix Klein,1849-1925)采纳了凯莱的思想，并将其推广到非欧几何，克莱因是哥廷根教授，19世纪末到20世纪初的德国一流数学家，1869-1870年间他学习了罗巴切夫斯基、鲍耶、冯施陶特的成果，不过1871年他还不知道拉盖尔的研究，他觉得可用凯莱的思想把非欧几何、双曲几何、二重椭圆几何都包括在射影几何之中。克莱因是第一个认识到无需用曲面来获得非欧几何模型的人。
克莱因首先指出凯莱没说清他心中的坐标有何意义，它们或者是没有几何解释的变量，或者是欧氏几何的距离，但要从射影几何推导度量几何，必须在射影基础上建立坐标。冯施陶特曾证明用投射代数能给点规定数，但他用了欧几里得平行公理，而克莱因认识到可去掉平行公理，于是四个点、四条线或四个平面的坐标和交比都可以在纯粹射影的基础上定义。
克莱因的主要思想是把凯莱绝对形二次曲面的性质具体化，就能证明依赖于绝对形性质的凯莱度量将产生双曲几何和二重椭圆几何，当二次曲面是实椭圆面或实椭球抛物面或实双叶双曲面时得到罗巴切夫斯基的度量几何，而当二次曲面是虚的时得到黎曼非欧几何（正的常曲率），如果绝对值是球面虚圆，其齐次方程为x^2+y2+z^2=0,t=0则得到欧氏几何。于是度量几何成为射影几何的特例。