LeetCode:69. x 的平方根

题目：

69. x 的平方根
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：
输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：
0 <= x <= 231 - 1

思路：
1.二分法查找

• 如果这个整数的平方等于输入整数，那么我们找到了这个数
• 如果这个整数的平方严格大于输入整数，那么肯定不是我们要找的数
• 如果这个整数的平方严格小于输入整数，那么有可能是我们要找的数

因此可以采用二分查找的方法查找给出数字的算术平方根，需要注意的是在循环里用除法判断防止溢出，而分母不能等于0，所以需要将left从1开始设定，还需要对输入整数是否为0做单独的判断。

代码：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0) {//不要忘记x==0
            return 0;
        }
        int left = 1;//防止mid等于0
        int right = x;
        while(left <=right) {
            int mid = left + ((right - left)/2);
            if(mid > x / mid)//用除法判断防止溢出
               right = mid - 1;
            else if(mid < x / mid){
                left = mid + 1;
            }
            else
               return mid;

        }
        return right;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(logx),即为二分查找需要的次数。
• 空间复杂度：O(1)。

2.牛顿迭代法

牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

由题目给出的条件已知 f(x)=x²-a，根号a是 x²-a=0的正实根，这个函数的导数为 2x，那么 x-f(x)/f’(x) 就是比x更接近的近似值，带入f(x)=x²-a，f’(x)=2x得到 x-(x²-a)/2x，化简得*(x+a/x)/2*。

代码：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int a) {
       if(a == 0)//分母不能为0，所以迭代之前先判断给的数是否为0
          return 0;
       long x = a;
       do {
           x = (x + a/x)/2;
       }while(x * x > a);
       return x;
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(logx)，此方法是二次收敛的，相较于二分查找更快。
• 空间复杂度：O(1)。