【概率论】作业八

作业八

151220129 计科 吴政亿

习题五第2题

设随机变量X为终端在使用的数量，则X~B(120,0.05)，
EX=120∗0.05=6,DX=120∗0.05∗0.95=5.7
近似为正态分布有 X−65.7√ ~ N(0,1) ,则 P(X≥10)=1−Φ(10−65.7√)≈0.0465

习题五第4题

设随机变量 Xi 为每个数舍入的误差， X 为总的舍入的误差，
1. Xi~ U[−0.5,0.5],E(Xi)=0,D(Xi)=112
E(X)=∑ni=1XiP(Xi)=0,D(X)=D(∑ni=1Xi)=n12=125
根据大数定律， X125√ ~ N(0,1)
P(|X|>15)=P(|X125√|>15125√)≈2Φ(−1.34)≈0.18

1. 设最多有n个数，则 E(X)=0,D(X)=n12,Xn12√ ~ N(0,1)
   P(|X|<10)=P(|X|n12√<10n12√)=2Φ(10n12√)−1≥0.96
   Φ(10n12√)≥0.98 ，查表得 10n12√≈2.06,n≈282

习题五第5题

E(X)=∫10xp(x)dx=12,E(X2)=∫10x2p(x)dx=310
D(X)=E(X2)−E(X)2=310−14=120 ，
∵1n2D(∑nk=1Xk)→0(n→∞) ,故服从大数定律，
即

limn→+∞1n∑k=1nXk=E(X)=12

习题五第7题

E(lnXi)=∫10lnx∗1dx=xlnx|10−∫10xdlnx=−1
因为 E(lnXi) 存在，所以 {lnXi} 服从辛钦大数定律,
lnZn=1n∑ni=1lnXi→P−1 ,
因为 f(x)=ex 连续， Zn→P1e .

二

已知 Xn→Pa,Yn→Pb , 所以对于 ∀δ1,δ2 ,

limn→∞P{|Xn−a|≤δ1}=1

limn→∞P{|Yn−b|≤δ2}=1

因为 g 在 (a,b) 连续, ∀ϵ>0 , ∃δ1,δ2 ,

P{|g(Xn,Yn)−g(a,b)|≤ϵ}=P(|Xn−a|≤δ1)P(|Yn−b|≤δ2)

所以有

limn→∞P{|g(Xn,Yn)−g(a,b)|≤ϵ}

=limn→∞P(|Xn−a|≤δ1)P(|Yn−b|≤δ2)=1

g(Xn,Yn)→Pg(a,b)