P3647 题解
文章目录
- P3647 题解
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- Overview
- Description
- Solution
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- Lemma
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- Proof
- Main
- Code
P3647 题解
Overview
很好的题，但是难度较大。
模拟小数据！——【数据删除】
Description
给定一颗树，有边权，已知这棵树是由这两个操作得到的：
Append(u, w)：在 u u u 和 w w w 之间连一条红边，注意这里的 w w w 必须是新点。Insert(u, v, w)：在 u u u 和 w w w， v v v 和 w w w 之间各连一条蓝边，注意这里的 w w w 必须是新点。
问蓝线的长度最大能到多少。
Solution
我们可以尝试将所有的 Insert 所产生的蓝边对都提取出来。
它们只可能有两种形式：son - u - father 和 son1 - u - son2。
Lemma
引理：所有的蓝边都可以在某一个根上表现出形如 son - u - father 的形式。
Proof
当树上没有形如 son1 - u - son2 的蓝边时，显然成立；
当树上恰好有一个形如 son1 - u - son2 的蓝边时，可以将 son1 和 son2 其中之一作为根，解决问题；
当树上有大于一个形如 son1 - u - son2 的蓝边时，可以证明不存在这样的边。
如图，当存在形如 1 的情况时，son1 和 son2 构成了单独的连通块，因为如果不是，那么 son1 和 son2 一定会是父子关系，矛盾；
当存在多个这样的连通块时，如图 2，建树时节点一定会组成单一的连通块，因为 u u u 总是存在，所以不成立。
Main
有了引理，就可以树形 dp 了。
枚举树根，对每个根 DP。设 d u , 0 / 1 d_{u,0/1} du,0/1 为 u u u 为根， u u u 是否为蓝边终点的子树最大边权和。
先看 d u , 0 d_{u,0} du,0，因为没有边上的限制，所以可以任意取，对于是中点的情况，可以再加上边权 w ( u , v ) w(u,v) w(u,v)，即 max ( d v , 1 + w ( u , v ) , d v , 0 ) \max(d_{v,1}+w(u,v), d_{v,0}) max(dv,1+w(u,v),dv,0)。
再看 d u , 1 d_{u,1} du,1，一定有一个 d v , 0 + w ( u , v ) d_{v,0}+w(u,v) dv,0+w(u,v)，其它都是 max ( d v , 1 + w ( u , v ) , d v , 0 ) \max(d_{v,1}+w(u,v), d_{v,0}) max(dv,1+w(u,v),dv,0)，所以要加上 max Δ sum \max \Delta_{\text{sum}} maxΔsum。
所以关于 d d d 的状态转移方程可以这样写：
d u , 0 = ∑ v ∈ son ( u ) max ( d v , 1 + w ( u , v ) , d v , 0 ) d u , 1 = d u , 0 + max v ∈ son ( u ) { d v , 0 + w ( u , v ) − max ( d v , 1 + w ( u , v ) , d v , 0 ) } d_{u,0} = \sum_{v\in \text{son}(u)}\max(d_{v,1}+w(u,v),d_{v,0})\\d_{u,1} = d_{u,0}+\max_{v\in \text{son}(u)}\{d_{v,0} + w(u,v) - \max(d_{v,1} + w(u,v), d_{v,0})\} du,0=v∈son(u)∑max(dv,1+w(u,v),dv,0)du,1=du,0+v∈son(u)max{dv,0+w(u,v)−max(dv,1+w(u,v),dv,0)}
这样，就可以枚举根得到 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的复杂度， 15 pts 15\text{pts} 15pts。
接下来考虑换根 DP。
一张图解释接下来两个 DP 数组的含义。
这里的 g g g 并不描述这个子树，而是以 u u u 为根的整棵树。
根据 f f f 的转移方程，我们照样也可以推出 g g g 和 k k k 的转移方程，留给读者思考。
注意到方程里仍有大量之前可以利用的内容，所以需要维护最大值和次大值。
Code
#include