数学建模：K-means聚类手肘法确定k值（含python实现）

原理

  当K-means聚类的k值不被指定时，可以通过手肘法来估计聚类数量。
  在聚类的过程中，随着聚类数的增大，样本划分会变得更加精细，每个类别的聚合程度更高，那么误差平方和（SSE）会逐渐变小，误差平方和即该类重心与其内部成员位置距离的平方和。SSE是手肘法的核心指标，其公式为：$$SSE=\sum _{i=1}^k\sum _{p\in C}|p-m_i{|}^2$$  其中，$c_i$是第 i 个簇，$p$是$c_i$中的样本点，$m_i$是$c_i$的质心（$c_i$中所有样本均值），代表了聚类效果的好坏。
  当 k 小于真实聚类数时，由于 k 的增大会增加每个簇的聚合程度，故 SSE 的下降幅度会很大；而当 k 到达真实聚类数时，再增加 k 所得到的聚合程度回报会迅速变小，所以 SSE 的下降幅度会骤减，然后随着 k 值的继续增大而趋于平缓。也就是说 SSE 和 k 的关系图是一个手肘的形状，而这个肘部对应的 k 值就是数据的真实聚类数。

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']	# 显示中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False		# 显示负号
# 加载数据
X=data.iloc[:, 3:15]
# 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)

# 使用PCA进行降维
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X_scaled)

# 使用手肘法确定最佳的K值
inertia = []
for k in range(1, 11):
    kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42)
    kmeans.fit(X_scaled)
    inertia.append(kmeans.inertia_)

# 绘制手肘法图表
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(range(1, 11), inertia, marker='o', linestyle='--')

plt.ylabel('误差平方和')
plt.title('手肘法图表')
plt.savefig('手肘法图.png',dpi=300)
plt.grid(True)

plt.show()

# 从手肘法图表中选择最佳的K值
# 在这个示例中，根据手肘法，选择K=3

# 使用最佳的K值进行K-Means聚类
best_k = 4
kmeans = KMeans(n_clusters=best_k, random_state=42)
kmeans.fit(X_scaled)

# 将簇标签添加到原始数据中
data['亚类别'] = kmeans.labels_

# 打印每个簇中的样本数量
print(data['亚类别'].value_counts())

# PCA绘制降维后的数据及其簇分布
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=kmeans.labels_, cmap='viridis')
plt.xlabel('主成分1')
plt.ylabel('主成分2')
plt.title('K-Means 结果')
plt.savefig('K-Means 结果.png',dpi=300)
plt.show()

  结果：

  这个问题中，根据手肘法，我们选择最佳k值应该为4。