哥德尔定理

蒯因引号悖论

《我是个怪圈》的第十章有趣地谈论了这一点。

蒯因引号悖论非常直观的展示了一个句子如何谈论自身，这也是哥德尔定理的实质。

直观上如果不适用指代，一个句子似乎没办法谈论自己，比如说谎者悖论‘我在说话’，似乎必要的使用‘我’、‘本句话’这样的词语。

哥德尔到底是如何把一个公式的哥德尔配数纳入这个公式本身的？它看起来就像要努力把一头大象塞进一个火柴盒里——而且从某种意义上来说就是这样。没有任何公式能够在字面意义上包含与它自己的哥德尔配数对应的数词，因为这个数词含有比这个公式多得多的符号！

这里的要诀有赖于一个简单的事实，即某些巨大的数字具有很短的描述（例如，387 420 489，用五个字就可以描述出来：9的9次方）。如果你能用一个简短的算式计算出一个很长的公式的哥德尔配数，那么你就不必再以笨重而臃肿的方式去描述那个数字（“0的后继数的后继数的……”），而是可以通过你的运算式捷径来描述它；而如果你用以表达这个捷径的工具是公式内部的符号（而不是插入的数词本身），那么你就可以让这个公式自己谈论自己，并且不必花费把大象塞进火柴盒的吃奶力气。

设想你要写出一个汉语句子，令其在不使用“本句”这个短语的前提下谈论自身。你将会发现，这个挑战是相当棘手的，因为你不得不在这句话的内部，使用引号和引语，切实地描述出这句话。例如，先看看下面这个（多少有点白费力气的）初次尝试：

“本句话有7个字”这句话有7个字。

虽然这句话为真，但遗憾的是，它并没有谈论其自身。说到底，上面这个完整的句子包括14个字，还外加一对引号。这句话谈论的是通过引号嵌于其中的一个更短的句子。

问题是，不管在引号里放的是什么，它必然比其所嵌入的整句话更短。这是一个显而易见的事实，也构成了“把一个公式的哥德尔配数直接插入其自身”这块绊脚石在语言学上的一个精确类比。一头大象是塞不进一个火柴盒的！可另一方面，一头大象的DNA却很容易就能放入火柴盒内……

哥德尔发现了这个要诀，虽然它相当微妙难懂，蒯因的类比却让它变得十分容易理解。请看下面这个句子片段（以下称为蒯因的准妙语）：

如果紧跟在置于引号中的自己之后，可以造出一个完整的句子。

如你所见，这句话显然不是一个完整的句子，因为它在语法上缺少一个主语（即“紧跟”的主语是缺失的）。但是，如果我们在这句话的开头加一个名词——比如，“蒯因教授”这个头衔，这样一来就会变成一个完整的句子（完整的句子被称为蒯因妙语）：

“蒯因教授”如果紧跟在置于引号中的自己之后，可以造出一个完整的句子。

为了弄清楚它的意思，我们不得不真正构造出一个它所谈论的实体，这就意味着我们不得不让蒯因教授这一头衔紧跟上放在引号中的自身。我们由此得到：

“蒯因教授”蒯因教授。

我们刚刚创造出的句子只是声明（或者说断言）了这个有点傻的短语是一个完整的句子。这一论断显然是假的。上面那个短语不是一个完整的句子；它甚至连一个动词都没有。

然而，我们使用 蒯因教授的头衔 是一个相当任性的选择，此外还有上百万种选项。有没有某个其他的名词，我们可以把它放在蒯因的准妙语的开头，令蒯因妙语为真呢？由哥德尔所意识到，且经由蒯因的类比而清晰表明的道理是，要想做到上述这一点，你不得不使用一个无主语的句子片段作为主语。

随便拈来一个常见的句子，比如“雪是白的”，然后砍掉它的主语就好。你由此便可得到一个无主语的句子片段：“是白的”。让我们把这个片段作为一个名词，放在蒯因的准妙语的开头：

“是白的”如果紧跟在置于引号中的自己之后，可以造出一个完整的句子。

这句不长不短的拗口的话做出了关于某种建构的声明，而这种建构即：

“是白的”是白的。

现在，我们刚刚所造的显然是一个完整的句子，因为它有一个动词（“是”），而且这个动词还有一个主语（加引号的短语），这全都说得通。请注意，我并没有说它是真的，因为它明白无疑是假的：“是白的”事实上是黑色的（虽然，公平地说，汉字及笔画的空白处确实包括一些白色的空间，不然我们是无法阅读它们的）。不管怎么说，当把“是白的”输入给蒯因的准妙语后，确实造出了一个完整的句子，我们切切实实地在向前推进。

我们最后一个邪恶的把戏，是把蒯因的准妙语本身作为一个名词放在它的开头。如此一来，蒯因的准妙语前面，便加上了一个放在引号中的自己的复制品：

“如果紧跟在置于引号中的自己之后，可以造出一个完整的句子” 如果紧跟在置于引号中的自己之后，可以造出一个完整的句子。

这个妙语声明了什么呢？我们首先必须确定，它在进行关于什么实体的谈论，这也就意味着，我们必须构建出可类比于“‘是白的’是白的”之物。这个类比物如下：

“如果紧跟在置于引号中的自己之后，可以造出一个完整的句子” 如果紧跟在置于引号中的自己之后，可以造出一个完整的句子。

蒯因妙语谈论的是一个与蒯因妙语完全一致的短语！它断言某句话是一个完整的句子，而当你建构起那句话之后，会发现它就是蒯因妙语本身。所以，蒯因妙语谈论的是它自己，并断言它自己是一个完整的句子（它当然是个完整的句子，尽管它是由两个无主语的句子片段拼接组成的，一个在引号内，一个在引号外）。

正如你刚才所见，我们有办法使用引号和句子片段造出一个谈论其自身的句子（或者如果你愿意的话，也可以说它谈论的是另一个句子，只不过这个句子是原句的克隆体，所以两个句子在任何方面都是一致的）。

哥德尔类似地创造了一个“无主语的公式片段”（含有一个未知的变量x的公式）。然后，他又进行了相当于把蒯因的准妙语（加上引号）递送给它自己的操作，用公式片段的哥德尔配数k（这是一个具体的数字，不是一个变量）替换了变量x，由此产生出一个对更大的整数g做出论断的公式（而不仅是一个片段）。而g又是这一论断的哥德尔配数。最后不容忽视的一点是，这个论断并非关于所言实体是否为一个完整的句子，而是关于所言实体是否为一个可证的公式。

非质雅数代表不可证明的句子的哥德尔数，用蒯因的语言传达出哥德尔自指建构的精髓——也就是使用我们刚刚讨论的那种格式。这种杂交句是长成这个样子的：

“当输入其自身的哥德尔配数时，会得出一个非质雅数”当输入其自身的哥德尔配数时，会得出一个非质雅数。

把自由变量替换之后（作为一个主语）就产生这个句子，这个句子正好描述自己不可证明。

不可判定性和哥德尔定理

考虑一个包含充分的算数的形式理论S，S中可以形式化句子“图灵机Mk在输入m上陷入无限循环”。

如果在S中，对任意k，m，都有一个证明，那么我们就可以把证明变成一个计算过程。因此，我们将解决k，m的停机问题的所有非停机实例。这不可能。

因此有k0、m0，当机器k0在输入m0不停机时，我们不能在S内证明机器 在输入m0不停机。

另外，（作为正确的理论）S不能证明错误的断言，它不能证明句子的否定：“图灵机在输入m0停机。”因此，这个句子在S中是不可判定的、不可证明的，这个句子具有明显的数学意义。