深度学习之反向传播算法的直观理解

深度学习之反向传播算法的直观理解

如何直观地解释 backpropagation 算法？

https://www.zhihu.com/question/27239198

BackPropagation算法是多层神经网络的训练中举足轻重的算法。简单的理解，它的确就是复合函数的链式法则，但其在实际运算中的意义比链式法则要大的多。要回答题主这个问题“如何直观的解释back propagation算法？” 需要先直观理解多层神经网络的训练。机器学习可以看做是数理统计的一个应用，在数理统计中一个常见的任务就是拟合，也就是给定一些样本点，用合适的曲线揭示这些样本点随着自变量的变化关系。深度学习同样也是为了这个目的，只不过此时，样本点不再限定为(x, y)点对，而可以是由向量、矩阵等等组成的广义点对(X,Y)。而此时，(X,Y)之间的关系也变得十分复杂，不太可能用一个简单函数表示。然而，人们发现可以用多层神经网络来表示这样的关系，而多层神经网络的本质就是一个多层复合的函数。借用网上找到的一幅图[1]，来直观描绘一下这种复合关系。

其对应的表达式如下：

上面式中的Wij就是相邻两层神经元之间的权值，它们就是深度学习需要学习的参数，也就相当于直线拟合y=kx+b中的待求参数k和b。和直线拟合一样，深度学习的训练也有一个目标函数，这个目标函数定义了什么样的参数才算一组“好参数”，不过在机器学习中，一般是采用成本函数（cost function），然后，训练目标就是通过调整每一个权值Wij来使得cost达到最小。cost函数也可以看成是由所有待求权值Wij为自变量的复合函数，而且基本上是非凸的，即含有许多局部最小值。但实际中发现，采用我们常用的梯度下降法就可以有效的求解最小化cost函数的问题。梯度下降法需要给定一个初始点，并求出该点的梯度向量，然后以负梯度方向为搜索方向，以一定的步长进行搜索，从而确定下一个迭代点，再计算该新的梯度方向，如此重复直到cost收敛。那么如何计算梯度呢？假设我们把cost函数表示为, 那么它的梯度向量[2]就等于, 其中表示正交单位向量。为此，我们需求出cost函数H对每一个权值Wij的偏导数。而BP算法正是用来求解这种多层复合函数的所有变量的偏导数的利器。我们以求e=(a+b)(b+1)的偏导[3]为例。它的复合关系画出图可以表示如下：在图中，引入了中间变量c,d。为了求出a=2, b=1时，e的梯度，我们可以先利用偏导数的定义求出不同层之间相邻节点的偏导关系，如下图所示。利用链式法则我们知道：以及。链式法则在上图中的意义是什么呢？其实不难发现，的值等于从a到e的路径上的偏导值的乘积，而的值等于从b到e的路径1(b-c-e)上的偏导值的乘积加上路径2(b-d-e)上的偏导值的乘积。也就是说，对于上层节点p和下层节点q，要求得，需要找到从q节点到p节点的所有路径，并且对每条路径，求得该路径上的所有偏导数之乘积，然后将所有路径的 “乘积” 累加起来才能得到的值。大家也许已经注意到，这样做是十分冗余的，因为很多路径被重复访问了。比如上图中，a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络，这样的冗余所导致的计算量是相当大的。同样是利用链式法则，BP算法则机智地避开了这种冗余，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。正如反向传播(BP)算法的名字说的那样，BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。从最上层的节点e开始，初始值为1，以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点，将1乘以e到某个节点路径上的偏导值，并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后，第二层的每一个节点都“堆放"些值，然后我们针对每个节点，把它里面所有“堆放”的值求和，就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以"层"为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。以上图为例，节点c接受e发送的12并堆放起来，节点d接受e发送的13并堆放起来，至此第二层完毕，求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送21并对堆放起来，节点c向b发送21并堆放起来，节点d向b发送31并堆放起来，至此第三层完毕，节点a堆放起来的量为2，节点b堆放起来的量为21+3*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。于是a又跨过c去找e。b先向c讨薪，同样又转向e，b又向d讨薪，再次转向e。可以看到，追款之路，充满艰辛，而且还有重复，即a, b 都从c转向e。而BP算法就是主动还款。e把所欠之钱还给c，d。c，d收到钱，乐呵地把钱转发给了a，b，皆大欢喜。

作者：Anonymous
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来源：知乎
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通俗理解神经网络BP传播算法

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24801814

在学习深度学习相关知识，无疑都是从神经网络开始入手，在神经网络对参数的学习算法bp算法，接触了很多次，每一次查找资料学习，都有着似懂非懂的感觉，这次趁着思路比较清楚，也为了能够让一些像我一样疲于各种查找资料，却依然懵懵懂懂的孩子们理解，参考了梁斌老师的博客BP算法浅谈（Error Back-propagation）（为了验证梁老师的结果和自己是否正确，自己python实现的初始数据和梁老师定义为一样！），进行了梳理和python代码实现，一步一步的帮助大家理解bp算法！

为了方便起见，这里我定义了三层网络，输入层（第0层），隐藏层（第1层），输出层（第二层）。并且每个结点没有偏置（有偏置原理完全一样），激活函数为sigmod函数（不同的激活函数，求导不同），符号说明如下：

对应网络如下：

其中对应的矩阵表示如下：

首先我们先走一遍正向传播，公式与相应的数据对应如下：

那么：

同理可以得到

那么最终的损失为

我们当然是希望这个值越小越好。这也是我们为什么要进行训练，调节参数，使得最终的损失最小。这就用到了我们的反向传播算法，实际上反向传播就是梯度下降法中（为什么需要用到梯度下降法，也就是为什么梯度的反方向一定是下降最快的方向，我会再写一篇文章解释，这里假设是对的，关注bp算法）链式法则的使用。

下面我们看如何反向传播

根据公式，我们有：

这个时候我们需要求出C对w的偏导，则根据链式法则有

上面插入sigmod函数求导公式：

（在这里我们可以看到不同激活函数求导是不同的，所谓的梯度消失，梯度爆炸如果了解bp算法的原理，也是非常容易理解的！）
同理有

到此我们已经算出了最后一层的参数偏导了.我们继续往前面链式推导：

我们现在还需要求

下面给出其中的一个推到，其它完全类似

同理可得到其它几个式子：
则最终的结果为：

再按照这个权重参数进行一遍正向传播得出来的Error为0.165

而这个值比原来的0.19要小，则继续迭代，不断修正权值，使得代价函数越来越小，预测值不断逼近0.5.我迭代了100次的结果，Error为5.92944818e-07（已经很小了，说明预测值与真实值非常接近了），最后的权值为：

好了，bp过程可能差不多就是这样了，可能此文需要你以前接触过bp算法，只是还有疑惑，一步步推导后，会有较深的理解。

理解梯度下降

http://liuchengxu.org/blog-cn/posts/dive-into-gradient-decent/

什么是梯度

直接问梯度是什么，可能有些人会不知道怎么回答，下面给出两个选项:

1、梯度是一个数 (没有方向)
2、梯度是一个向量 (有方向)

直接上结论, 梯度是一个有方向的向量, 带着这个概念再来慢慢理解.

导数

导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。

derivative(来自维基百科)

导数的物理意义表示函数在这一点的 (瞬时) 变化率。

偏导数

既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量，以两个自变量为例，z=f(x,y) . 从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于 y 轴（平行于 xOz 平面）的切线，以及垂直于 x 轴（平行于 yOz 平面）的切线。

(来自维基百科)

一个多变量函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。

偏导数的物理意义表示函数沿着坐标轴正方向上的变化率。

方向导数

方向导数是偏导数的概念的推广, 偏导数研究的是指定方向 (坐标轴方向) 的变化率，到了方向导数，研究哪个方向可就不一定了。

一个标量场在某点沿着某个向量方向上的方向导数，描绘了该点附近标量场沿着该向量方向变动时的瞬时变化率。这个向量方向可以是任一方向。

方向导数的物理意义表示函数在某点沿着某一特定方向上的变化率。

梯度

说完方向导数，终于要谈到梯度了。

在一个数量场中，函数在给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的。那么沿着哪一个方向其方向导数最大，其最大值为多少，这是我们所关心的，为此引进一个很重要的概念: 梯度。

假设函数在其一点 p0 处，那么它沿哪一方向函数值增加的速度能够最快？

摘自 梯度 维基百科：

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点的梯度指向在这点标量场增长最快的方向（当然要比较的话必须固定方向的长度），梯度的绝对值是长度为1的方向中函数最大的增加率。以另一观点来看，由多变数的泰勒展开式可知，从欧几里得空间 Rn到 R 的函数的梯度是在 Rn 某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的内积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

为什么沿着梯度方向函数增长最快

下面对为什么沿着梯度的方向函数增长最快进行证明:

证明准备

方向导数定义:

方向导数公式:

梯度公式:

从方向导数与梯度进行证明

总结
概念 物理意义
导数 函数在该点的瞬时变化率
偏导数 函数在坐标轴方向上的变化率
方向导数 函数在某点沿某个特定方向的变化率
梯度 函数在该点沿所有方向变化率最大的那个方向
函数在某一点处的方向导数在其梯度方向上达到最大值，此最大值即梯度的范数。

这就是说，沿梯度方向，函数值增加最快。同样可知，方向导数的最小值在梯度的相反方向取得，此最小值为最大值的相反数，从而沿梯度相反方向函数值的减少最快。更多内容可见:方向导数与梯度。

在机器学习中往往是最小化一个目标函数 L(Θ)，理解了上面的内容，便很容易理解在梯度下降法中常见的参数更新公式：
Θ=Θ−γ∂L∂Θ
γ 在机器学习中常被称为学习率 ( learning rate )， 也就是上面梯度下降法中的步长。

通过算出目标函数的梯度（算出对于所有参数的偏导数）并在其反方向更新完参数 Θ ，在此过程完成后也便是达到了函数值减少最快的效果，那么在经过迭代以后目标函数即可很快地到达一个极小值。如果该函数是凸函数，该极小值也便是全局最小值，此时梯度下降法可保证收敛到全局最优解。

概念上大概理解了梯度下降，下一步便是写点代码来理解一下了，毕竟上面所述还是有些过于理论，有时间我会从代码实现与分析中进一步理解梯度下降, 敬请期待。