P3141 [USACO16FEB] Fenced In P题解

题目

如果此题数据要小一点，那么我们可以用克鲁斯卡尔算法通过，但是这个数据太大了，空间会爆炸，时间也会爆炸。

我们发现，如果用 MST 做，那么很多边的边权都一样，我们可以整行整列地删除。

我们造一个样例解析一下：

+-+--+---+
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+-+--+---+
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+-+--+---+

首先，我们删除第一列的栅栏：

+-+--+---+
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+ +--+---+
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+-+--+---+

此时答案是 $1$。

再删除第一排的栅栏:

+-+--+---+
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+ +--+---+
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+-+--+---+

此时答案是 $3$。

我们继续删除第二列的栅栏：

+-+--+---+
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+ +  +---+
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+-+--+---+

此时答案是 $5$。

我们继续删除第二行的栅栏：

+-+--+---+
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+ +  +---+
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+-+--+---+

此时答案是 $9$。

我们把第三列的栅栏删除，由于之前删除的两行栅栏导致第三列栅栏少删除一个，不用删除。

你可以继续造更大的数据发现规律：

我们先把每一列，每一行的栅栏长度算出来，从小到达排序，然后用双指针算法，两个指针 $i$ 和 $j$，第一个记录统计到哪一行，第二个记录统计到哪一列，这两个变量的初始值应该为 $2$，然后把第一列，第一行栅栏删除。讨论时，如果我们当前讨论的行比列要短，就删除 $m-j+1$ 个栅栏，因为之前删除的栅栏导致我们现在不用删除一些栅栏。反之，同理，就是 $n-i+1$ 个栅栏。如果一个指针走完了，那么所有的都是联通的，就不用再循环了。时间复杂度 $O(n)$，通过。

AC Code：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int h, w, n, m;
int a[300000], b[300000];
long long a1[300000], b1[300000];
long long ans;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> h >> w >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
	for (int i = 1; i <= m; i ++) cin >> b[i];
	sort(a + 1, a + n + 1);
	sort(b + 1, b + m + 1);
	n++;
	a[n] = h;
	m++;
	b[m] = w;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		a1[i] = a[i] - a[i - 1];
	}
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		b1[i] = b[i] - b[i - 1];
	}
	sort(a1 + 1, a1 + n + 1);
	sort(b1 + 1, b1 + m + 1);
//	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
//		cout << a1[i] << ' ';
//	}
//	cout << '\n';
//	for (int j = 1; j <= m; j ++) {
//		cout << b1[j] << ' ';
//	}
//	cout << '\n';
	int i = 2, j = 2;
	ans = a1[1] * (m - 1);
	ans += b1[1] * (n - 1);
	while (i <= n && j <= m) {
		if (a1[i] < b1[j]) {
			ans += a1[i] * (m - j + 1);
			i++;
		}
		else {
			ans += b1[j] * (n - i + 1);
			j++;
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}