欧拉函数

概念

欧拉函数$\phi (n)$描述的是小于等于n的正整数2中与n互质的个数。先回顾一下互质的定义，互质是指两个正整数的最大公约数为1。所以不难得出，1和任何正整数互质；除1外任何正整数和它自己不可能互质；$n$和$n+1$互质。另外，除$\phi (1)=1$外，欧拉函数满足$\phi (n)\le n-1$，当且仅当n是质数时等号成立。

比如$\phi (12)=4$，1-12中和12互质的数包括1、5、7、11。

BTW，欧拉这个人也太恐怖了，图论里有欧拉公式$V+F-E=K$，复变函数里有欧拉公式$cos\theta +isin\theta =e^{i\theta }$，数论里有欧拉函数、欧拉同余定理和欧拉线性筛，级数里有欧拉数，微分方程里有欧拉方程（欧拉方程还是少数有解析解的微分方程之一）。。。三百年不遇的一位奇才。

欧拉函数的公式

如果一个正整数n的质因子分解为$p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}...p_k^{r_k}$，则
$$\phi (n)=n\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$$
下面来简单推导一下这个公式。我们知道，任何一个大于等于2的正整数都可以分解为质数的乘积的形式（质因子分解）。假设一个数$n$分解为$p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}...p_k^{r_k}$，如果另一个正整数m和n互质，则没有任何相同的质因子。1-n这n个数中，能被质因子$p_1$整除的概率是$1/p_1$，能被$p_2$整除的概率是$1/p_2$，以此类推。又因为不同质因子的整除在概率上是相互独立的，由相互独立事件概率可知，不能被任何一个质因子整除的概率是
$$\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\text{\hspace{1em}(2)}$$
从而得到欧拉函数。

欧拉函数的计算

单个数的欧拉函数非常简单，分解质因子的同时可求出。1-n的所有数的欧拉函数可以用线性筛法，下面会讲。

int phi(int n) {
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    int i, k = n, ans = n;
    for (i = 2; i * i <= k; i++) {
        if (n % i) continue;
        ans /= i;
        ans *= i - 1;
        while (n % i == 0) n /= i;
    }
    return n == k ? ans - 1 : ans;
}

时间复杂度$O(\sqrt{n})$。

欧拉函数的性质

1、乘法性质：如果$a,b$互质，则$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$。

推论1：如果$p$为奇数，则$\phi (2p)=\phi (p)$；如果$p$为偶数，则$\phi (2p)=2\phi (p)$。

推论2：假设$p$为质数。如果$q\%p=0$，则$\phi (pq)=p\ast \phi (q)$；如果$q\%p\ne 0$，则$\phi (pq)=(p-1)\ast \phi (q)$。根据此推论可以对线性筛法进行扩展，在$O(n)$内求出1-n每个数的欧拉函数值。代码如下：

int eu[10000001];
int prime[1000000], cnt;

void euler(int n) {
    int i, j;
    eu[1] = 1;
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        if (!eu[i]) {
            prime[cnt++] = i;
            eu[i] = i - 1;
        }
        for (j = 0; j < cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            if (i % prime[j]) {
                eu[i * prime[j]] = (prime[j] - 1) * eu[i];
            } else {
                eu[i * prime[j]] = prime[j] * eu[i];
                break;
            }
        }
    }
}

2、欧拉同余定理：对于两个互质的正整数$a,m$，满足$a^{\phi (m)}\%m=1$。特别地，如果m是质数，且$a\%m\ne 0$，则是费马小定理$a^{m-1}\%m=1$。