0101插入排序-算法基础-算法导论第三版

一 插入排序

输入：$n$个数订单一个序列$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$.

**输出：**输入序列的一个排列$(a_1^{{}^{\prime }},a_2^{{}^{\prime }},\cdots ,a_n^{{}^{\prime }})$,满足$a_1^{{}^{\prime }}\le a_2^{{}^{\prime }}\le \cdots \le a_n^{{}^{\prime }}$(从小到大排序)。

我们希望的数也称为 关键词。

我们通常将算法描述为用一种 伪代码书写的程序。伪代码与真代码区别：

• 在伪代码中，使用最清晰、最简洁的表示方法来说明给定的算法。
• 伪代码不关系软件工程的问题。为了更简洁的表达算法的本质，常常忽略数据抽象、模块性和错误处理的问题。

tips: 关于插入排序的概念性描述，可以参考最后链接2，这里不在赘述。

插入排序的伪代码如下：

INSERTION-SORT(A)
	for i = 2 to A.length
		key = A[j]
		i = j-1
		while i>0 and a[i] > key
			a[i+1] = a[i]
			i = i - 1
		a[i+1] = key

二 循环不变式与插入排序的正确性

上图表名$A=(5,2,4,6,1,3)$该算法如何工作。

• 下标$j$指出正被插入到手中的”当前牌".
• 在for循环（循环变量为$j$）的每次迭代开始，包含元素$[1\cdots j-1]$的子数组构成了当前排序好的左手中的牌；剩余的子数组$[j+1\cdots n]$对应与扔在桌子上的牌堆。

元素$[1\cdots j-1]$就是原来在位置1到$j-1$的元素，但现在已按序排列。我们把$[1\cdots j-1]$的这些性质形式地表示为一个循环不变式。

循环不变式主要用来帮助我们理解算法的正确性。关于循环不变式，我们必须证明三条性质：

1. 初始化：循环第一次迭代之前，它为真。
2. 保持：如果循环某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真。
3. 终止：在循环终止时，不变式为我们提供了一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。

循环不变式证明算法正确性与归纳法比较：

• 初始化对应与归纳法基本情况。
• 保持对应于归纳步。
• 归纳法中，归纳步是无限使用，这里当循环终止时，停止”归纳“。

通过循环不变式的三条性质，证明插入排序正确性：

• 初始化：在第一次循环迭代之前（j=2）。子数组$A[1\cdots j-1]$为$A[1]$，该数组已排序。这表名第一次循环迭代之前循环不变式成立。
• 保持：非形式化for循环的第4~7行将$A[j-1]、A[j-2]、\cdots$依次向右移动一个位置，直到找到$A[j]$的适当位置，第8行将$A[j]$插入该位置。这时子数组$A[1\cdots j]$由原来在$A[1\cdots j]$的元素组成，但已按序排列。那么对for循环的下一次迭代增加j将保持循环不变式。
• 终止：导致循环终止的条件$j>A.length=n$,每次循环迭代j增加1，此时$j=n+1$。在循环不变式的表述中把$j用n+1$代替。子数组$A[1\cdots n]$由原来在$A[1\cdots n]$中的元素组成，但已按序排列。子数组$A[1\cdots n]$为整个数组，我们推断整个数组已排序。因此算法正确。

在本章后面及其他章节中，我们将采用这种循环不变式的方法证明算法的正确性。

三 伪代码中的一些约定

• 缩进表示块结构，参考python。
• while、for、与repeat-until等循环结构以及if-else条件结构与C、C++、Java、Python中的结构具有类似的解释。
• 符号"//"表示后面部分是注释。
• 形如$i=j=e等级与j=e;i=j$
• 变量（如$i,j,key$）是局部变量。若无显示说明，我们不使用全局变量。
• 数组元素通过"数组名[下标]“这样的形式来访问。记号”$\cdots$"用于表示数组中值的一个范围。
• 复合数据通常被组织成对象，对象由属性组成。对象名后跟一个点在跟对象名来访问对象属性。
• 我们 按值把参数传递给对象。当对象被传递时，传递指向该对象的指针（引用）。
• 一个return语句立即将控制返回到调用过程的调用点。
• 布尔运算符”and“和”or“都是短路的。
• 关键词error表示因为已被调用的过程情况不对而出现了一个错误。调用过程负责处理该错误，所以我们不用说明将采取什么行动。

四 Java代码实现插入排序

package com.gaogzhen.algorithms4.sort;

import edu.princeton.cs.algs4.StdIn;
import edu.princeton.cs.algs4.StdOut;

/**
 * 插入排序
 * 算法：
 * 1. 插入排序是指在待排序的元素中，假设前面n-1(其中n>=2)个数已经是排好顺序的
 * 2. 现将第n个数插到前面已经排好的序列中，然后找到合适自己的位置，使得插入第n个数的这个序列也是排好顺序的
 * 3. 按照此法对所有元素进行插入，直到整个序列排为有序的过
 */
public class Insertion {

    /**
     * 排序方法
     * @param a     实现了Comparable接口的待排序数组
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        int N = a.length;
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            for (int j = i ; j > 0 && less(a[j], a[j - 1]);  j--) {
                exch(a, j, j - 1);
            }

        }
    }

    /**
     * 比较大小
     * @param a     目标a
     * @param b     目标b
     * @return      返回布尔值
     */
    private static  boolean less(Comparable a, Comparable b) {
        return a.compareTo(b) < 0;
    }

    /**
     * 交换数组元素
     * @param a     数组
     * @param i     索引
     * @param j     索引
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }

    /**
     * 打印数组
     * @param a     数组
     */
    private static void show(Comparable[] a) {
        // 单行打印数组
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            StdOut.print(a[i] + " ");
        }
        StdOut.println();
    }

    /**
     * 测试数组是否已经有序
     * @param a     带测试数组
     * @return      测试结果: true-数组有序；false-数组无序
     */
    public static boolean isSorted(Comparable[] a) {
        // 测试数组是否已经有序
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            if (less(a[i], a[i-1])) return false;
        }
        return  true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 从标准输入读取字符串，将他们排序并输出
        String[] a = StdIn.readAllStrings();
        sort(a);
        assert isSorted(a);
        show(a);
    }
}

结语

欢迎小伙伴一起学习交流，需要啥工具或者有啥问题随时联系我。

❓QQ:806797785

⭐️源代码地址：https://gitee.com/gaogzhen/algorithm

[1]算法导论(原书第三版)/(美)科尔曼(Cormen, T.H.)等著;殷建平等译 [M].北京:机械工业出版社,2013.1(2021.1重印).p17-22.

[2]插入排序-排序-算法[CP/OL]