魔方矩阵（幻方、九宫图）

魔方矩阵（幻方、九宫图）

今天在学matlab基础知识的时候，看到magic(N)这个函数，觉得好奇，就查了下资料，让我弄明白了魔方矩阵是如何就算的，记录下来，当作笔记了。。。

定义：

将自然数1到N^2填充N行N列的方阵，使方阵中每行、每列及两条主对角线上的N个数的和都等于N*(N^2+1)/2，这样的方阵称为N阶魔方矩阵（幻方）。

 

趣味例子:

在《射雕英雄传》中郭、黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。

8	1	6
3	5	7
4	9	2

 这就是九宫图的例子，属于魔方矩阵的特例。大家不要觉得黄蓉很聪明，看完下面的介绍，你也能很快算出这个答案。

 

对于魔方矩阵的构造分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其他数（偶数，4N+2的形式），下面就由我来一一介绍：

1.N为奇数

（1）将1放在第一行中间一列。

（2）从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：

 按右上45°方向行走，也就是说下一个数的行数比前一个数的行数减1，列数加1

<1>.如果行范围超出矩阵范围，则行数变为n-1行，列不变。

<2>.如果列范围超出矩阵范围，则列数变为0列，行不变。

<3>.如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第0行第n-1列时，则把下一个数放在上一个数的下面。

（3）按照上述规则(1)(2)将N^2 个数都放入矩阵中，得到的矩阵即为N阶魔方矩阵。

例如：5阶魔方矩阵   

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

2.N为4的倍数

 采用对称元素交换法：

（1）把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵。 

（2）将方阵划分为4×4子方阵，每个子方阵中画出子主对角线、子副对角线，然后按照下面步骤操作：

<1>.主对角线上的元素关于原点对称交换。

<2>.副对角线上的元素不动。

<3>.子对角线（子主对角线、子副对角线）关于副对角线对称交换。

<4>.各子方阵中其余元素关于主对角线对称交换。

（3）按照上述规则(1)(2)操作元素，得到的矩阵即为N阶魔方矩阵。

 

 最后得到的8阶魔方矩阵为：

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

  3.N为其他数（偶数，4N+2的形式）

（1）把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。

（2）按照第1节中奇数阶魔方矩阵填数的方法给分解的4个子方阵赋值，四个子方阵赋值规则为：

上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)，即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4。

四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③ ④ ②。

（3）按照（2）中描述赋值之后，作相应的元素交换：

<1>a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做交换(j<t-1或j>n-t+1，矩阵行列编号从0开始)。

<2>a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换。

其中u=n/2，t=(n+2)/4。

(4)到此完成。

 

例子:6阶魔方矩阵：

35	1	6	26	19	24
3	32	7	21	23	25
31	9	2	22	27	20
8	28	33	17	10	15
30	5	34	12	14	16
4	36	29	13	18	11

 未完待续。。