拉格朗日对偶(Lagrange duality)

拉格朗日对偶(Lagrange duality)

存在等式约束的极值问题求法,比如下面的最优化问题:

        

    目标函数是f(w),下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子,这里使用来表示算子,得到拉格朗日公式为

        

    L是等式约束的个数。

    然后分别对w求偏导,使得偏导数等于0,然后解出w。至于为什么引入拉格朗日算子可以求出极值,原因是f(w)dw变化方向受其他不等式的约束,dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值,而且在极值处,f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行,因此他们之间存在线性关系。(参考《最优化与KKT条件》)

然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法,问题如下:

        

    我们定义一般化的拉格朗日公式

    这里的都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解,会出现问题,因为我们求解的是最小值,而这里的已经不是0了,我们可以将调整成很大的正值,来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况,我们定义下面的函数:

   

    这里的P代表primal。假设或者,那么我们总是可以调整来使得有最大值为正无穷。而只有gh满足约束时,f(w)。这个函数的精妙之处在于,而且求极大值。

    因此我们可以写作

   

    这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。    

   

    我们使用来表示。如果直接求解,首先面对的是两个参数,而也是不等式约束,然后再在w上求最小值。这个过程不容易做,那么怎么办呢?

    我们先考虑另外一个问题

    D的意思是对偶,将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值,将看作是固定值。之后在求最大值的话:

    这个问题是原问题的对偶问题,相对于原问题只是更换了minmax的顺序,而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下:

   

    下面解释在什么条件下两者会等价。假设fg都是凸函数,h是仿射的(affine)。并且存在w使得对于所有的i。在这种假设下,一定存在使得是原问题的解,是对偶问题的解。还有另外,满足库恩-塔克条件(Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition),该条件如下:

    拉格朗日对偶(Lagrange duality)

    所以如果满足了库恩-塔克条件,那么他们就是原问题和对偶问题的解。让我们再次审视公式(5),这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果,那么。也就是说,时,w处于可行域的边界上,这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部(的)点都是不起作用的约束,其。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。

    这部分内容思路比较凌乱,还需要先研究下《非线性规划》中的约束极值问题,再回头看看。KKT的总体思想是将极值会在可行域边界上取得,也就是不等式为0或等式约束里取得,而最优下降方向一般是这些等式的线性组合,其中每个元素要么是不等式为0的约束,要么是等式约束。对于在可行域边界内的点,对最优解不起作用,因此前面的系数为0

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