拉格朗日对偶（Lagrange duality）

拉格朗日对偶（Lagrange duality）

存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问题：

        

    目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示算子，得到拉格朗日公式为

        

    L是等式约束的个数。

    然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然后解出w和。至于为什么引入拉格朗日算子可以求出极值，原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束，dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值，而且在极值处，f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行，因此他们之间存在线性关系。（参考《最优化与KKT条件》）

然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法，问题如下：

        

    我们定义一般化的拉格朗日公式

    这里的和都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最小值，而这里的已经不是0了，我们可以将调整成很大的正值，来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数：

   

    这里的P代表primal。假设或者，那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，为f(w)。这个函数的精妙之处在于，而且求极大值。

    因此我们可以写作

   

    这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。    

   

    我们使用来表示。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢？

    我们先考虑另外一个问题

    D的意思是对偶，将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将和看作是固定值。之后在求最大值的话：

    这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下：

   

    下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数，h是仿射的（affine，）。并且存在w使得对于所有的i，。在这种假设下，一定存在使得是原问题的解，是对偶问题的解。还有另外，满足库恩-塔克条件（Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition），该条件如下：

   

    所以如果满足了库恩-塔克条件，那么他们就是原问题和对偶问题的解。让我们再次审视公式（5），这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果，那么。也就是说，时，w处于可行域的边界上，这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部（的）点都是不起作用的约束，其。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。

    这部分内容思路比较凌乱，还需要先研究下《非线性规划》中的约束极值问题，再回头看看。KKT的总体思想是将极值会在可行域边界上取得，也就是不等式为0或等式约束里取得，而最优下降方向一般是这些等式的线性组合，其中每个元素要么是不等式为0的约束，要么是等式约束。对于在可行域边界内的点，对最优解不起作用，因此前面的系数为0。