MATLAB学习笔记（六）——MATLAB数据分析与多项式计算

（一）数据处理统计

一、最大值和最小值

1、求向量的最大值和最小值

y=max(X);    %返回向量X的最大值存入y，如果X中含有复数则按模最大的存入y
[y,I]=max(X);%返回向量X的最大值存入y，如果X中含有复数则按模最大的存入y；最大值的序号存入I。

     求最小值min的用法与max完全相同。

2、求矩阵的最大值和最小值

max(A);         %返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值
[Y,U]=max(A);   %返回行向量A和U，Y向量记录A的每列的最大值，Y记录每列的最大值的序号。
max(A,[],dim);  %dim取1时，就跟max(A)完全相同，dim取2时，函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。

3、两个矩阵或矩阵对应元素的比较

U=max(A,B);  %A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或者矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的最大值。
U=max(A,n);  %n是一个标量，结果U是与A同型的向量或者矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n的较大值。

二、求和与求积

sum(X);  %返回向量X各元素的和。
prod(X); %返回向量X各元素的乘积。
sum(A); %返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和
prod(A); %返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积
sum(A,dim); %当dim=1时，与sum(A)相同，dim=2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行各元素之和。

prod(A,dim); %当dim=1时，与sum(A)相同，dim=2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行各元素之乘积。

三、平均值和中值

mean(X);     %返回向量X的算术平均值
median(X);   %返回向量X的中值
mean(A);     %返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值
median(A);   %返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。
mean(A,dim);    %dim=1;与mean(A)相同，dim=2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。
median(A,dim);  %dim=1；与median(A)相同，dim=2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。

四、累加和与累乘和

cumsum(X);     %返回向量X累加和向量
cumprod(X);    %返回向量X累乘积向量
cumsum(A);     %返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量
cumprod(A);    %返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量
cumsum(A,dim); %dim=1时，等同于cumsum(A);dim=2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。
cumprod(A,dim);%dim=1时，等同于cumprod(A);dim=2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累乘积向量。

五、标准方差和相关系数

1、标准方差

（1）样本标准方差：

                 

（2）总体标准方差：

                

（3）MATLAB封装方法：

Y=std(A,flag,dim);
%A是向量时，返回一个标准方差。A是矩阵时，返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列的标准方差。
%dim=1,取各列的标准方差，dim=2时，取各行的标准方差。
%flag=0，取样本标准方差。flag=1，取总体标准方差
%flag=0,dim=1，为缺省默认值。

2、相关系数

（1）定义：

（2）MATLAB封装方法：

corrcoef(X);  %返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵，此系数矩阵的大小与X相同，每一列为当前列与每一列的相关系数的值。
corrcoef(X,Y);%在这里X,Y为向量，与corrcoef(X,Y)的作用相同。

六、排序

[Y,I]=sort(A,dim);%dim=1对列排序，dim=2对行进行排序。Y为排序后的矩阵，I记录Y中元素在A的位置。
                  %sort函数为升序排序
sort(A);  %对A的每列升序排序；
-sort(-A);%对A的每列降序排序；

（二）数据插值

一、一维数据插值

Y1=interp1(X,Y,X1,'method');

    %X,Y是已知的两个等长的向量，分别描述采样点和样本值。X1为一个向量或者标量，描述欲插值的点。Y1是一个X1等长的插值的结果
    %method为插值方法：
    %linear:线性插值，默认的插值方法。把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。
    %nearest：最近点插值，根据已知插值点与已知数据点的远近程度进行查插值。插值点有限选择比较近的数据点进行插值操作。
    %cubic：三次多项式插值，根据已知数据求出一个三次多项式，然后根据该多项式进行插值
    %spline：三次样条插值，在每个分段区间内构造一个三次多项式，使得其插值函数满组成插值条件外，还要求在各节点处具有光滑的条件。

其中三次样条插值的效果最好，然后MATLAB中有一个专门用于三次样条插值的方法：

Y1=spline(X,Y,X1);

一个demo：

X=6:2:18;
Y=[18,20,22,25,30,28,24];
X1=6.5:1:18.5;

subplot(2,2,1);
plot(X,Y,'b');
hold on;
Y1=interp1(X,Y,X1,'linear');
plot(X1,Y1,'r');
title('linear');

subplot(2,2,2);
plot(X,Y,'b');
hold on;
Y1=interp1(X,Y,X1,'nearest');
plot(X1,Y1,'r');
title('nearest');

subplot(2,2,3);
plot(X,Y,'b');
hold on;
Y1=interp1(X,Y,X1,'cubic');
plot(X1,Y1,'r');
title('cubic');

subplot(2,2,4);
plot(X,Y,'b');
hold on;
Y1=interp1(X,Y,X1,'spline');
plot(X1,Y1,'r');
title('spline');

可以看出最好的就是三次样条插值以及三次插值。

二、二维数据插值

Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method');

调用方法和格式都与一位数据插值相同。

然后直接上个demo

x=0:2.5:10;
h=[0:30:60]';
T=[95,14,0,0,0
    88,48,32,12,6
    67,64,54,48,41];
xi=[0:0.1:10];
hi=[0:60]';
TI=interp2(x,h,T,xi,hi);
surf(xi,hi,TI);
shading interp;

（三）曲线拟合

[P,S]=polyfit(X,Y,m)

  产生一个m次多项式P，以及在采样点的误差向量S，其中X,Y是两个等长向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。

（四）离散傅里叶变换

一、离散傅里叶变换算法简介

二、离散傅里叶变换的实现

（1）fft(X)：返回向量X的离散傅里叶变换。设X的长度（即元素个数）为N，若N为2的幂次，则为以2为基数的快速傅里叶变换，否则为运算速度很慢的非2幂次

                  的算法。对于矩阵X，fft(X)应用于矩阵的每一列。

（2）fft(X,N)：计算N点傅里叶变换。它限定向量的长度为N，若X的长度小于N，则不足部分补上零；若大于N，则删去超出N的那些元素。对于矩阵X，它同样应

                     用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为N。

（3）fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩阵的调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N)基本相同。知识当参数dim=1时，作用于X

                                               的每一列，当dim=2时，作用于X的每一行。

（五）多项式计算

一、多项式的四则运算

1、多项式的加减运算

     = =，其实就是直接将系数提出来弄成向量，然后进行相加减就好了。。

2、多项式的乘法运算

conv(P1,P2)  %P1，P2是两个多项式系数向量

3、多项式的除法运算

[Q,r]=deconv(P1,P2)   %Q返回的是P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。Q和r仍是多项式系数向量。

二、多项式的导函数

p=polyder(P)      %求多项式P的导函数
p=polyder(P,Q)   %求P*Q的导函数
[p,q]=polyder(P,Q)   %求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。

三、多项式的求值

1、代数多项式求值

Y=polyval(P,x)       %若x为一数值，则求多项式在该店的值；若x为向量或矩阵，则对向量或者矩阵的每个元素求多项式的值。

2、矩阵多项式求值

Y=polyvalm(P,x)

    以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式。

四、多项式求根

1、求根方法

x=roots(P)

2、若已知全部根，则可以得到多项式

P=poly(x)