[HAOI2008]圆上的整点

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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题目描述

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

输入

r

输出

整点个数

样例输入

4

样例输出

4

提示

r<=2000 000 000

 

　　题目描述简洁明了，但r的范围极其坑人，暴力的方法不用想，肯定用数学解决，以下题解有详细证明，，，不是我写的。。。

正解

  样例图示：

                                                                          

        首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

        然后想数学方法。

       

        

         有了上面的推理，那么实现的方法为：

         枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

         此时d为2R的约数有两种情况：d=2R/d或d=d。( 如d=d就是d<=sqrt(2R)&&2R/d>=sqrt(2R)的情况 )

         第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

         第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

         因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

 

【时间复杂度分析】：

        枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

 

 1 #include<bits/stdc++.h> 

 2 using namespace std;

 3 typedef long long LL;

 4 LL R,ans=0;

 5 LL gcd(LL x,LL y){

 6     if(x%y==0) return y;

 7     else return gcd(y,x%y);

 8 }

 9 bool check(LL y,double x)

10 {

11       if(x==floor(x))//判断整点 

12       {

13             LL x1=(LL)floor(x);

14             if(gcd(x1*x1,y*y)==1 && x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)=1并且A!=B 

15                   return true;

16       }

17       return false;

18 }

19 int main()

20 {

21       scanf("%lld",&R);

22       for(LL d=1;d<=(LL)sqrt(2*R);d++)

23       {

24             if((2*R)%d==0)

25             {

26                   for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*r/d

27                   {

28                         double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a);

29                         if(check(a,b))

30                               ans++;

31                   }

32                   if(d!=(2*R)/d)

33                   {

34                         for(LL a=1;a<=(LL)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<d

35                         {

36                               double b=sqrt(d-a*a);

37                               if(check(a,b))

38                                     ans++;

39                         }

40                   }

41             }

42       }    

43       printf("%lld\n",ans*4+4); 

44       return 0;

45 }