抽象代数精解【2】
文章目录
- 群
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- 消去律的意义
- 消去律与群的其他性质
- 总结
- 难点与例子
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- 例子
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- 参考文献
群
下面由文心一言生成
群中的消去律是群论中的一个基本定理，它描述了群中元素之间的一种特殊关系。具体来说，群中的消去律包含左右两个方向，可以表述为：
- 左消去律：若 ( a b = a c ) (ab = ac) (ab=ac) 且 ( a , b , c ∈ G ) (a, b, c \in G) (a,b,c∈G)其中 (G) 是一个群,则 b = c。
- 右消去律：若 ( b a = c a ) (ba = ca) (ba=ca) 且 ( a , b , c ∈ G ) (a, b, c \in G) (a,b,c∈G)，则 b = c。
由于群的定义保证了每个元素都有唯一的逆元，并且群的运算满足结合律，因此可以证明在群中左消去律和右消去律是等价的，即只要其中一个成立，另一个也必然成立。在实际应用中，通常只提及“消去律”而不特别区分左右。
消去律的意义
消去律在群论中具有重要意义，它使得群的运算具有更加良好的性质。具体来说，消去律的成立意味着在群中，如果两个元素与第三个元素的乘积相等，那么这两个元素本身也必须相等。这一性质在证明群的某些定理和性质时非常有用。
消去律与群的其他性质
- 逆元唯一性：群中每个元素的逆元是唯一的，这一性质与消去律密切相关。实际上，逆元的唯一性可以由消去律推导出来。
- 结合律：群的运算满足结合律，这是群定义的一部分。结合律与消去律共同保证了群运算的良好性质。
- 单位元存在性：群中存在一个单位元（也称为幺元），它与群中任意元素的乘积都等于该元素本身。单位元的存在性也是群定义的一部分。
总结
群中的消去律是群论中的一个基本定理，它描述了群中元素之间的一种特殊关系。消去律的成立使得群的运算具有更加良好的性质，并在证明群的某些定理和性质时发挥重要作用。同时，消去律与群的其他性质如逆元唯一性、结合律和单位元存在性等密切相关。
难点与例子
- a , b ∈ C ( C 为复数集 ) , ∼ : a ∼ b ⇔ ∣ a ∣ = ∣ b ∣ a,b\in C(C为复数集),\sim:a \sim b\Leftrightarrow|a|=|b| a,b∈C(C为复数集),∼:a∼b⇔∣a∣=∣b∣证明等价关系，确定商集 C / ∼ C/\sim C/∼及代表元素
来自文心一言的复数三角形式解释
在复数中， cos θ + i sin θ \cos\theta + i\sin\theta cosθ+isinθ 是一种非常重要的表示方式，它被称为复数的三角形式或极坐标形式。这里， θ \theta θ 是一个实数，表示复数在复平面上与正实轴之间的夹角（即辐角），而 cos θ \cos\theta cosθ 和 sin θ \sin\theta sinθ 分别是该夹角的余弦和正弦值，它们分别确定了复数在复平面上的实部和虚部。
具体来说，复数 z = a + b i z = a + bi z=a+bi（其中 a , b a, b a,b 是实数， i i i 是虚数单位）可以表示为三角形式，当且仅当存在实数 θ \theta θ 和 r r r（ r ≥ 0 r \geq 0 r≥0）使得 z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r(\cos\theta + i\sin\theta) z=r(cosθ+isinθ)。在这个表示中， r r r 是复数 z z z 的模（或绝对值），而 θ \theta θ 是复数 z z z 的辐角。
三角形式与复数的标准形式（即 a + b i a + bi a+bi）之间的转换是复数理论中的一个基本问题。给定 z = a + b i z = a + bi z=a+bi，其模 r r r 可以通过 r = a 2 + b 2 r = \sqrt{a^2 + b^2} r=a2+b2 计算得到，而辐角 θ \theta θ 可以通过 tan θ = b a \tan\theta = \frac{b}{a} tanθ=ab（注意需要考虑 θ \theta θ 的象限）来确定。反过来，给定 r r r 和 θ \theta θ，则 z = r cos θ + r i sin θ z = r\cos\theta + ri\sin\theta z=rcosθ+risinθ。
三角形式在复数的乘法、除法、幂运算等中非常有用，因为它允许我们利用三角函数的性质来简化计算。例如，两个复数 z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) z1=r1(cosθ1+isinθ1) 和 z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) z2=r2(cosθ2+isinθ2) 的乘积可以简单地表示为 z 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 ) ] z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，这里用到了三角函数的和角公式。
证：
1. a ∼ a ⇔ ∣ a ∣ = ∣ a ∣ 2. a ∼ b ⇔ ∣ a ∣ = ∣ b ∣ ⇔ ∣ b ∣ = ∣ a ∣ ⇔ b ∼ a 3. a ∼ b , b ∼ c ⇔ ∣ a ∣ = ∣ b ∣ , ∣ b ∣ = ∣ c ∣ , ∣ a ∣ = ∣ c ∣ ⇔ a ∼ c 等价关系证毕 4. C / ∼ = { [ r ] ∣ r ∈ Q , r ≥ 0 } [ r ] = { x ∈ C ∣ ∣ x ∣ = r } = { r ( c o s θ + i s i n θ ) ∣ θ ∈ [ 0 , 2 π ] } 5. ∀ c ∈ C ，等价类 [ c ] 的代表元素取作 ∣ c ∣ ，即 c 的模长！ 1.a \sim a \Leftrightarrow |a|=|a| \\2.a \sim b \Leftrightarrow |a|=|b| \Leftrightarrow |b|=|a| \Leftrightarrow b \sim a \\3.a \sim b,b \sim c \Leftrightarrow |a|=|b|,|b|=|c|,|a|=|c| \Leftrightarrow a \sim c \\等价关系证毕 \\4.C/\sim=\{[r]|r \in Q,r \ge 0\} \\\lbrack r ]=\{x \in C||x|=r \}=\{r(cos\theta+isin\theta)|\theta \in [0,2\pi]\} \\5.\forall c \in C，等价类[c]的代表元素取作|c|，即c的模长！ 1.a∼a⇔∣a∣=∣a∣2.a∼b⇔∣a∣=∣b∣⇔∣b∣=∣a∣⇔b∼a3.a∼b,b∼c⇔∣a∣=∣b∣,∣b∣=∣c∣,∣a∣=∣c∣⇔a∼c等价关系证毕4.C/∼={[r]∣r∈Q,r≥0}[r]={x∈C∣∣x∣=r}={r(cosθ+isinθ)∣θ∈[0,2π]}5.∀c∈C，等价类[c]的代表元素取作∣c∣，即c的模长！
- S = { ( a , b ) ∣ a , b ∈ Z , b ≠ 0 } , ∼ : ( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a d = b c ，证明 ∼ 是 S 的一个等价关系。 S=\{(a,b)|a,b \in Z,b \ne 0\},\sim:(a,b) \sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc，证明\sim是S的一个等价关系。 S={(a,b)∣a,b∈Z,b=0},∼:(a,b)∼(c,d)⇔ad=bc，证明∼是S的一个等价关系。
1. ( a , b ) ∼ ( a , b ) ⇔ a b = b a 2. ( a , b ) ∼ ( b , a ) ⇔ a b = b a 3. ( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a d = b c , ( c , d ) ∼ ( e , f ) ⇔ c f = d e a b = c d = e f 4. S / ∼ = { [ ( a , b ) ] ∣ a , b ∈ Z , b ≠ 0 } [ a , b ] = { ( c , d ) ∈ S ∣ a d = b c } 1.(a,b)\sim(a,b)\Leftrightarrow ab=ba \\2.(a,b)\sim(b,a)\Leftrightarrow ab=ba \\3.(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc,(c,d)\sim(e,f)\Leftrightarrow cf=de \\\frac a b=\frac c d =\frac e f \\4.S/\sim=\{ [(a,b) ] |a,b \in Z,b \ne 0\} \\ [a,b]=\{(c,d) \in S|ad=bc\} 1.(a,b)∼(a,b)⇔ab=ba2.(a,b)∼(b,a)⇔ab=ba3.(a,b)∼(c,d)⇔ad=bc,(c,d)∼(e,f)⇔cf=deba=dc=fe4.S/∼={[(a,b)]∣a,b∈Z,b=0}[a,b]={(c,d)∈S∣ad=bc} - 实数域 R 全体 n 阶可逆方阵的集合 G L n ( R ) 关于矩阵乘法构成群， 这个群称为 n 阶一般线性群。 实数域R全体n阶可逆方阵的集合GL_n(R)关于矩阵乘法构成群，\\这个群称为n阶一般线性群。 实数域R全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵乘法构成群，这个群称为n阶一般线性群。
1. A , B ∈ G L n ( R ) 2. A , B 可逆， A B 可逆， A B ∈ G L n ( R ) 3. C ∈ G L n ( R ) , （ A B ) C = A ( B C ) 4. 单位元为 E 单位矩阵 , A = A E = E A 5. A ∈ G L n ( R ) , A − 1 存在可逆， A − 1 ∈ G L n ( R ) 1.A,B \in GL_n(R) \\2.A,B可逆，AB可逆，AB\in GL_n(R) \\3.C \in GL_n(R),（AB)C=A(BC) \\4.单位元为E单位矩阵,A=AE=EA \\5.A \in GL_n(R),A^{-1}存在可逆，A^{-1}\in GL_n(R) \\ 1.A,B∈GLn(R)2.A,B可逆，AB可逆，AB∈GLn(R)3.C∈GLn(R),（AB)C=A(BC)4.单位元为E单位矩阵,A=AE=EA5.A∈GLn(R),A−1存在可逆，A−1∈GLn(R) - 矩阵乘法特点
乘法结合律： ( A B ) C = A ( B C ) ． 乘法左分配律： ( A + B ) C = A C + B C 乘法右分配律： C ( A + B ) = C A + C B 对数乘的结合性 k ( A B ） = ( k A ) B = A ( k B ）． 转置 ( A B ) T = B T A T ． 矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。 A A ∗ = A ∗ A ， A 和伴随矩阵相乘满足交换律。 A E = E A ， A 和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。 乘法结合律： (AB)C=A(BC)． \\乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC \\乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB \\对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）． \\转置 (AB)^T=B^TA^T． \\矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。 \\ AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。 \\AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。 乘法结合律：(AB)C=A(BC)．乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．转置(AB)T=BTAT．矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。AA∗=A∗A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。 - 在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。
根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身 - 如果 A A T = E AA^T=E AAT=E（E为单位矩阵， A T A^T AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或 A T A = E A^TA=E ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵 。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
下面内容由文心一言生成
正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它指的是满足特定条件的方阵。具体来说，一个 n × n n \times n n×n的实矩阵 Q Q Q被称为正交矩阵，如果它满足以下条件之一：
- Q Q Q的列向量是单位向量，并且两两正交（即任意两个不同列向量的点积为0）。
- Q Q Q的行向量是单位向量，并且两两正交。
- Q Q Q的转置矩阵 Q T Q^T QT等于其逆矩阵 Q − 1 Q^{-1} Q−1，即 Q T = Q − 1 Q^T = Q^{-1} QT=Q−1。
这里，我们主要关注第三个条件，因为它提供了一个快速判断矩阵是否正交的方法，并且与矩阵的逆和转置紧密相关。
正交矩阵的性质
- 行列式为1或-1：由于 Q T = Q − 1 Q^T = Q^{-1} QT=Q−1，我们有 ∣ Q T ∣ = ∣ Q − 1 ∣ |Q^T| = |Q^{-1}| ∣QT∣=∣Q−1∣。又因为 ∣ Q T ∣ = ∣ Q ∣ |Q^T| = |Q| ∣QT∣=∣Q∣（矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式），所以 ∣ Q ∣ ⋅ ∣ Q − 1 ∣ = 1 |Q| \cdot |Q^{-1}| = 1 ∣Q∣⋅∣Q−1∣=1，从而得出 ∣ Q ∣ 2 = 1 |Q|^2 = 1 ∣Q∣2=1，即 ∣ Q ∣ = ± 1 |Q| = \pm 1 ∣Q∣=±1。
- 保持向量长度不变：对于任意向量 v \mathbf{v} v，有 ∣ ∣ Q v ∣ ∣ = ∣ ∣ v ∣ ∣ ||Q\mathbf{v}|| = ||\mathbf{v}|| ∣∣Qv∣∣=∣∣v∣∣，其中 ∣ ∣ v ∣ ∣ ||\mathbf{v}|| ∣∣v∣∣表示向量 v \mathbf{v} v的欧几里得长度。
- 保持向量间的夹角不变：对于任意两个向量 u \mathbf{u} u和 v \mathbf{v} v，它们之间的夹角 θ \theta θ在经过正交变换 Q Q Q后保持不变，即 cos θ ( u , v ) = cos θ ( Q u , Q v ) \cos\theta(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \cos\theta(Q\mathbf{u}, Q\mathbf{v}) cosθ(u,v)=cosθ(Qu,Qv)。
例子
考虑以下 2 × 2 2 \times 2 2×2矩阵：
Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) Q = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} Q=(cosθsinθ−sinθcosθ)
这个矩阵是正交的，因为：
Q T = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) Q^T = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} QT=(cosθ−sinθsinθcosθ)
并且
Q T Q = ( cos 2 θ + sin 2 θ cos θ ( − sin θ ) + sin θ cos θ − sin θ cos θ + cos θ sin θ sin 2 θ + cos 2 θ ) = ( 1 0 0 1 ) = I Q^T Q = \begin{pmatrix} \cos^2\theta + \sin^2\theta & \cos\theta(-\sin\theta) + \sin\theta\cos\theta \\ -\sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta & \sin^2\theta + \cos^2\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I QTQ=(cos2θ+sin2θ−sinθcosθ+cosθsinθcosθ(−sinθ)+sinθcosθsin2θ+cos2θ)=(1001)=I
由于 Q T Q = I Q^T Q = I QTQ=I（单位矩阵），根据正交矩阵的定义， Q Q Q是正交矩阵。注意，这里也验证了行列式为1的性质，因为 det ( Q ) = cos θ cos θ + sin θ sin θ = 1 \det(Q) = \cos\theta\cos\theta + \sin\theta\sin\theta = 1 det(Q)=cosθcosθ+sinθsinθ=1。
- R上全体n阶正交矩阵集合 O n ( R ) O_n(R) On(R),矩阵乘法构成群，为n阶正交群。
1. A , B ∈ O n ( R ) 2. A , B 为正交矩阵， A B 也是正交矩阵。 3. 矩阵乘法满足结合律 4. 有单位元 , I ∈ O n ( R ) 5. 有逆元， A 为正交矩阵 ∈ O n ( R ) ，则 A − 1 ∈ O n ( R ) 1.A,B \in O_n(R) \\2.A,B为正交矩阵，AB也是正交矩阵。 \\3.矩阵乘法满足结合律 \\4.有单位元,I \in O_n(R) \\5.有逆元，A为正交矩阵\in O_n(R)，则A^{-1}\in O_n(R) 1.A,B∈On(R)2.A,B为正交矩阵，AB也是正交矩阵。3.矩阵乘法满足结合律4.有单位元,I∈On(R)5.有逆元，A为正交矩阵∈On(R)，则A−1∈On(R)
参考文献
1.《近代代数（第三版）》