二维非稳态导热微分方程_二维非稳态传热的温度场数值模拟

背景:这是本学期凝固实验课的实验之一。这节课有两个数值模拟实验,第一个是二维常物性的,只有一种介质。而第二个实验是模拟凝固过程,稍微复杂一些。这篇文章是针对第一个实验写的,实验书上是按照显示差分进行的,这里改为隐式差分以便于计算。由于本人不是学CS的,因此代码的质量可能不是很高。

简要说明:

二维非稳态传热、常物性、第一类边界条件、无内热源、

网格的划分

计算原理概述

直角坐标系内二维导热过程温度场控制微分方程:

若时间项采用向后差分,空间项采用中心差分,则方程可离散为:

​,则上式可简化为:

整理可得:

通过隐式差分,该问题转化成线性方程组的求解问题。只需要给出系数矩阵A和此时刻的温度​即可求出下一时刻的温度分布。 由于该线性方程组有一定有确切的解,因此其系数矩阵A一定为满秩的方阵,基于此可以选择LU分解法来快速求解该方程组。

为了方便计算机内的存储与计算,将某时刻各点的温度存储在一个列向量中T中,具体的存储方式为

不妨假设在划分网格的时候X轴方向一共有cols个格点,Y轴方向一共有rows个格点。 由于在C++语言中,数组的下标都是从0开始的,因此有以下的关系:

为了方便表示,定义一个的函数,且始终满足​,则系数矩阵A满足以下关系:

为了方便表示,定义一个的函数indexof(i,j),且始终满足indexof(i,j) = (j-1)*cols+i-1,则系数矩阵A满足以下关系:

当然,以上的表达式仅仅只考虑了差分方程,而没有考虑边界条件。

对于边界点(即i=1或i=cols或j=1或j=rows的点),应

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